แนวการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนโดยใช้คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน
ยุดา กีรติรักษ์ *
ครูผู้สอนคงจะมีปัญหาที่ต้องถามตนเองว่า จะสอนคณิตศาสตร์ เพื่อให้ผู้เรียนนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างไร ก่อนอื่น เราคงต้องพิจารณาคำว่า "คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน" คำนี้น่าจะหมายถึงอย่างอะไร คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน น่าจะหมายถึง การใช้วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ในการแก้ไขปัญหาบางประการในชีวิตประจำวัน เช่น ถ้านักเรียนจะเดินทางจากจังหวัดแพร่มากรุงเทพฯ อยากจะทราบว่า ค่าใช้จ่ายในการเดินทางโดยทางรถไฟ กับรถยนต์โดยสารปรับอากาศ เมื่อรวมค่ารถรับจ้างจากสถานีรถไฟ หรือสถานีขนส่งสายเหนือที่นักเรียนจะต้องจ่ายแล้ว ควรจะเลือกเดินทางด้วยวิธีใดดี ปัญหาที่กล่าวมานี้ใช้การบวกในการแก้ปัญหา ตัวอย่าง ของปัญหาที่ใช้การคำนวณร้อยละใน การแก้ปัญหา เช่น ถ้านักเรียนคนหนึ่ง ไปแข่งขันตอบปัญหาของหนังสือรายสัปดาห์ฉบับหนึ่ง ได้เงินรางวัลมา 50,000 บาท และจะใช้เงินจำนวนที่ได้ในอีก -1 เดือนข้างหน้า จีงคิดว่า ถ้านำเงินจำนวนนี้ไปฝากธนาคารไว้ก่อน โดยฝากในบัญชีเงินฝากประจำประเภท -1 เดือน ได้ดอกเบี้ยร้อยละ 8.5 แต่จะต้องเสียภาษี 15% ต่อปี กับถ้าฝากเงินแบบออมทรัพย์ ได้ดอกเบี้ยร้อยละ 6.75 ต่อปี นักเรียนควรจะฝากแบบใดจึงจะได้ดอกเบี้ยมากกว่ากัน เป็นต้น ปัญหาในชีวิตประจำวันในลักษณะดังกล่าว ครูผู้สอนอาจจะให้โจทย์ปัญหา และให้นักเรียนช่วยกันหาข้อมูลที่จะมาใช้แก้ปัญหา (เช่น หาอัตราดอกเบี้ยเงินฝากของธนาคาร) แล้วมาช่วยกันหาคำตอบในชั่วโมงกิจกรรม หรือครูให้เป็นการบ้านพิเศษ ก็น่าจะเป็นวิธีการที่จะทำให้นักเรียนได้มองเห็น ประโยชน์ของคณิตศาสตร์ได้ โดยใช้คำถามทำนองนี้เป็นเครื่องมือ รวมทั้งจะเป็นการกระตุ้นให้นักเรียนเกิดความสนใจในการเรียนคณิตศาสตร์มากขึ้นด้วย ตัวอย่างการจัดกิจกรรมการสอนคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน โดยยกตัวอย่างจากเรื่องราวที่เกี่ยวข้องกับตัวนักเรียน โจทย์คำถามในลักษณะข้างต้น เป็นตัวอย่างในการที่จะเชื่อมโยงการแก้ปัญหาบางประการ ในชีวิตประจำวัน รวมทั้งเป็นการฝึกให้นักเรียนรู้จักวางแผนการทำงาน โดยใช้คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ โจทย์ในทำนองดังกล่าวนี้ มีหลายเรื่องที่ครูผู้สอนจะนำมาใช้ได้ ข้อที่ควรคำนึงถึงก็คือ เวลาจะให้โจทย์ในลักษณะนี้ ครูผู้สอนควรฝึกให้นักเรียนรู้จักไปหาข้อมูลมาด้วยตัวเอง โดยครูอาจจะแนะแหล่งที่จะไปหาข้อมูล และเมื่อนักเรียนแก้ปัญหาโจทย์ได้แล้ว ครูควรสรุปคำถาม และควรมีข้อเสนอแนะอื่น ๆ เพิ่มเติม เพื่อช่วยให้นักเรียนเกิดความรู้ความคิดกว้างขวางขึ้น นอกเหนือจากการมีความรู้แต่เพียงการเรียนในชั้นเรียน ทั่งนี้ ขึ้นอยู่กับการพิจารณาของครูผู้สอนว่า มีความพร้อมหรือไม่ และกิจกรรมดังกล่าวเหมาะสมกับชั้นเรียนของท่านหรือไม่ เพียงใดด้วย
* วิทยากร สาขาวิชาคณิตศาสตร์
วันพฤหัสบดีที่ 17 กรกฎาคม พ.ศ. 2551
การสอนคณิตศาสตร์ : ถึงเวลาที่จะต้องเปลี่ยนแนวคิดเสียที
การสอนคณิตศาสตร์ : ถึงเวลาที่จะต้องเปลี่ยนแนวคิดเสียที
ขณะที่เรากำลังย่างเข้าสู่ศตวรรษที่ 21 ยังมีผู้คนอีกเป็นจำนวน มากที่ยังมีความกลัวคณิตศาสตร์ เทคโนโลยีสมัยใหม่เช่นเครื่องคิด เลขที่แสดงกราฟได้ โปรแกรมสำหรับคำนวณเชิงสัญลักษณ์ ฯลฯ ก็ไม่ ได้ช่วยแก้ปัญหาให้คนกลุ่มนี้ได้ ไม่ว่าวิธีการจะเปลี่ยนไปอย่างไร ไม่ มีปัญหาสำหรับพวกที่เรียนเก่งในโรงเรียน แต่สำหรับคนส่วนใหญ่แล้วก็ ยังกลัวหรือไม่ไว้ใจวิชานี้อยู่ดี มีบทความที่ว่าด้วยเรื่อง 'mathephobia' คือโรคกลัวคณิตศาสตร์ อยู่มากมายที่ยืนยันว่า ปัญหาในการให้การศึกษาคณิตศาสตร์ยังมีอยู่ (Maxwell, 1989, Buxton 1981)บางทีอาจถึงเวลาที่ต้องหาวิธีการ ใหม่ ๆ หรือจะต้องมีการปรับหลักสูตรกระมัง
เท่าที่เป็นอยู่ในปัจจุบันนักเรียนไม่มีความรู้สึกใดใดในวิชาคณิตศาสตร์และไม่เห็นคุณค่า กลวิธีการแก้ปัญหาต่างๆ ไม่ได้รับการถกแถลงกันในโรงเรียน หลักสูตรไม่ยืดหยุ่น พอที่จะยอมให้นักเรียนได้ พากเพียรคิด และครูก็ได้แต่แสดงวิธี เพียงวิธีเดียวสำหรับผลเฉลย 1 ข้อ เรายังคงยึดติดอยู่แค่ระดับความชำนาญและการเรียนจากสูตร (แม้ว่าดูจะเป็นเรื่องในอดีต) การคิดอย่างแท้จริงทำแค่ผิวเผิน จะมีสักกี่คนที่เข้าใจอย่างแท้จริง ว่าเหตุใดจำนวนลบคูณจำนวนลบ จึงเป็นจำนวนบวก เข้าใจเพียงแค่เป็นกฎที่ครูบอกให้จำ จะมีสักกี่คนที่เข้าใจพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ หรือความคิดเกี่ยวกับลิมิตอย่างแท้จริง เป็นการง่ายเกินไปที่ละเลยในรายละเอียดเหล่านี้ แต่ได้ทำให้หลักที่แท้จริงของคณิตศาสตร์สูญเสียไป ผู้เขียนไม่ได้ต้องการที่จะตำหนิครู เพราะผู้เขียนเองก็ผ่านวิธีการเช่นนี้มาถึง 11 ปี หากแต่ผู้ที่มีส่วนเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจหรือคณะกรรมการเกี่ยวกับการสอบ ฯลฯ จะต้องให้ความสนใจและพยายามหาจุดหมายที่เราจะต้องไปให้ถึงในอนาคต
มีความงดงามในคณิตศาสตร์ที่จะมองเห็นได้ก็ด้วย ผู้ที่ใฝ่ใจในคณิตศาสตร์เท่านั้น และคนส่วนใหญ่ก็ จะหัวเราะเยาะคำกล่าวนี้ ความงดงามนั้นยากแก่การ ที่จะให้นิยาม แต่สามารถคิดถึงการได้มา ซึ่งความ เป็นระเบียบจากความยุ่งเหยิง หรือได้รับความง่ายจาก ความยากซึ่งสามารถยังให้เกิดขึ้นได้ในวิชาคณิตศาสตร์ ถ้าเราสามารถเปลี่ยนเจตคติของนักเรียนให้มาชื่นชมกับ ความงามได้เมื่อใด เมื่อนั้นเราก็จะอยู่ในภาวะที่น่า พอใจ การพิสูจน์ (ปัจจุบันไม่มีแล้วในสก๊อตแลนด์) เป็นวิธีที่มีประโยชน์มากในการแสดงถึงความงามนี้ เช่น ความเป็นอตรรกยะของแต่ผู้เขียนคิดว่า วิธีสอน 'สมัยใหม่' จะเป็นที่ชื่นชอบของครูเป็นจำนวนมาก ปัจจุบันทฤษฎีบทแฟร์ มาต์ และทฤษฎีสี่สี ได้รับการพิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์ ในหลายกรณี ซึ่งอาจจะดูว่าเป็นการล้ำสมัย แต่จะมีคนเป็น จำนวนน้อยนิดที่เข้าใจ และผู้เขียนยังสงสัยว่า จะมีใคร สักคนหรือไม่ที่จะยอมรับว่ากรณีต่างๆเหล่านั้นเป็นข้อ พิสูจน์ที่สละสลวย
ด้วยการกำจัดแนวคิดเกี่ยวกับการพิสูจน์ออกไป เราได้สูญเสียความเข้าใจอย่างแท้จริงไปในระดับหนึ่ง เป็นการง่ายเกินไปที่จะกล่าวอย่างสั้นๆว่าสูตรหรือความคิดมาจากไหน โดยไม่ได้แสดงเหตุผลอันควร ผลก็คือนักเรียนก็ยังคงอยู่ในความมืดและยังคงถูกทำให้เชื่อว่าสูตรถูกดึงออกมาจากหมวกนั่นเอง เราสามารถที่กล่าวอย่างจริงใจได้หรือไม่ว่าการศึกษาคณิตศาสตร์ประสบความสำเร็จ ผู้เขียนไม่คิดว่าเป็นเช่นนั้น คณิตศาสตร์บริสุทธิ์เป็นจำนวนมากมีประโยชน์ในการนำไปใช้หลังจากที่ได้เรียนมาแล้วเป็นเวลาหลายปี ฉะนั้นอะไรที่เกี่ยวข้อง ณ เวลานี้จึงดูไม่เกี่ยวข้อง เป็นที่น่าเสียใจว่านักเรียนของเราไม่ค่อยได้รับการปลุกเร้าอย่างดีพอในเรื่องนี้
บางทีผู้คนในชุมชนคณิตศาสตร์อาจไม่ต้อง การปรับเปลี่ยนมากนัก 'ความเห่อทางวิชาการ' มี คำตอบให้เป็นจำนวนมาก ผู้เขียนจบการศึกษาจาก ชั้นเรียนที่มีนักเรียน 13 คน ซึ่งฟังแล้วดูดีกว่าชั้นเรียน ที่มี 130 คน การที่ไม่ให้คนส่วนใหญ่ได้แตะต้องคณิตศาสตร์ ทำให้สถานะของคนส่วนน้อยประสบความสำเร็จเพราะได้เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ แท้จริงแล้วชุมชนคณิตศาสตร์ไม่ได้ช่วยตัวเองได้สักเท่าไร อย่างไรก็ดีในฐานะนักคณิตศาสตร์ด้านการศึกษา เราควรพยายามส่งเสริมให้นักเรียนได้ลิ้มลองความคิดใหม่ๆ ได้มองเห็นความงดงามที่มีอยู่ในผลเฉลยอันประณีตนั้น
ผู้เขียนใคร่จะขอให้ผู้ที่กำหนดหลักสูตรเปิดโอกาสให้ได้ใช้วิธีสอนคณิตศาสตร์ด้วยวิธีที่แตกต่างออกไป เพราะเราไม่ต้องการเข้าสู่ศตวรรษที่ 21 ด้วยการเรียนคณิตศาสตร์ที่น่าเบื่อหน่าย ดังที่เป็นอยู่ในหลักสูตรปัจจุบัน เราจะต้องใช้วิธีที่สดชื่นกว่านี้ ซึ่งไม่ใช่ของง่าย แต่มีค่าควรแก่การทำ คณิตศาสตร์ เกิดขึ้นจากคนแล้วเหตุไฉนนักเรียนจึงไม่ค่อยได้ค้นคิด อะไรเกี่ยวกับชีวิตของพวกเขาเลย แน่นอนว่าเวลามีส่วนเกี่ยวข้อง แต่เวลาไม่ใช่คำตอบที่น่าพอใจอีก ต่อไป เราจะต้องมีเวลาที่จะปล่อยให้ความรู้สึกซึมซับ ทางคณิตศาสตร์ได้ค่อยๆพัฒนา ไม่ใช่สัมผัสแต่เพียงผิวเผิน คณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีการนำไปใช้โดยตรง คำประพันธ์ยังเกิดขึ้นเพื่อความสนุกสนานรื่นเริงใจ คณิตศาสตร์ก็ควรจะเป็นเช่นเดียวกันได้ คือเพื่อความสนุกสนานรื่นเริงใจ Bertrand Russell (Russell1, 1917) สรุปด้วยคำกล่าวว่า 'คณิตศาสตร์ ถ้ามองอย่างเป็นธรรมแล้วไม่เกี่ยวข้องเฉพาะความจริง เท่านั้น แต่ยังมีความงดงามอย่างยิ่งด้วย'
ส่วนใหญ่แล้วคณิตศาสตร์ในโรงเรียนไม่ค่อย ได้ใช้ประโยชน์นอกเสียจากเพียงเพื่อให้ผ่านการสอบ และผู้เขียนเชื่อว่าครูเป็นจำนวนมากน่าจะผิดหวัง ถ้าสิ่งนี้เป็นเหตุผลสำคัญสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ ของนักเรียน ฉะนั้นการที่ยินยอมให้นักเรียนได้ ลิ้มลองคุณค่าในเนื้อแท้ซึ่งนักคณิตศาสตร์มีความรู้สึก ว่า สิ่งนี้จะช่วยพวกเขาให้เกิดความเข้าใจในแนวคิดได้ดีขึ้นและช่วยลดความกลัวที่มีอยู่ได้ ถึงแม้ว่าผู้เขียน มิได้ต่อต้านเทคโนโลยีใหม่ๆ แต่ก็ไม่จำเป็นที่เทคโนโลยีเหล่านี้จะต้องเข้าสู่โรงเรียนในระดับชาติโดยสิ้นเชิง ซึ่งถือกันว่าจะช่วยการเรียนของนักเรียน ยังมีเวลาอีกมากในระดับมหาวิทยาลัยที่จะใช้เครื่องจัดการสัญลักษณ์ แต่น่าเสียดายที่มาตรฐานดูเหมือนจะอยู่ในระดับพื้นฐานเท่านั้น ที่ชัดเจนที่สุดคือพื้นฐานทักษะพีชคณิตเบื้องต้น ซึ่งเป็นประโยชน์ในการพิสูจน์ในหลายกรณี
ความกลัวคณิตศาสตร์เกิดขึ้นมาเป็นเวลาหลายทศวรรษแล้ว จงอย่าทำให้คนรุ่นต่อไปในอนาคตเกิดการผิดพลาดในการเรียนคณิตศาสตร์ในทางที่ถูกที่ควรอีกต่อไป คณิตศาสตร์มิใช่เพียงแค่การสร้างองค์ความรู้เท่านั้น แต่เป็นการสร้างเจตคติ และความเชื่อต่างๆด้วย จนกว่าเมื่อไรที่เราจะสามารถ เปลี่ยนความคิดให้เป็นเช่นนี้ได้ คณิตศาสตร์จะเป็นวิชาสำหรับคนหมู่น้อยเท่านั้น
เก็บความจากเรื่อง
Time for a Change ของ N. Grant Macleod ในวารสาร Mathematics in School ฉบับเดือน March 1998 หน้า 6 - 7
ขณะที่เรากำลังย่างเข้าสู่ศตวรรษที่ 21 ยังมีผู้คนอีกเป็นจำนวน มากที่ยังมีความกลัวคณิตศาสตร์ เทคโนโลยีสมัยใหม่เช่นเครื่องคิด เลขที่แสดงกราฟได้ โปรแกรมสำหรับคำนวณเชิงสัญลักษณ์ ฯลฯ ก็ไม่ ได้ช่วยแก้ปัญหาให้คนกลุ่มนี้ได้ ไม่ว่าวิธีการจะเปลี่ยนไปอย่างไร ไม่ มีปัญหาสำหรับพวกที่เรียนเก่งในโรงเรียน แต่สำหรับคนส่วนใหญ่แล้วก็ ยังกลัวหรือไม่ไว้ใจวิชานี้อยู่ดี มีบทความที่ว่าด้วยเรื่อง 'mathephobia' คือโรคกลัวคณิตศาสตร์ อยู่มากมายที่ยืนยันว่า ปัญหาในการให้การศึกษาคณิตศาสตร์ยังมีอยู่ (Maxwell, 1989, Buxton 1981)บางทีอาจถึงเวลาที่ต้องหาวิธีการ ใหม่ ๆ หรือจะต้องมีการปรับหลักสูตรกระมัง
เท่าที่เป็นอยู่ในปัจจุบันนักเรียนไม่มีความรู้สึกใดใดในวิชาคณิตศาสตร์และไม่เห็นคุณค่า กลวิธีการแก้ปัญหาต่างๆ ไม่ได้รับการถกแถลงกันในโรงเรียน หลักสูตรไม่ยืดหยุ่น พอที่จะยอมให้นักเรียนได้ พากเพียรคิด และครูก็ได้แต่แสดงวิธี เพียงวิธีเดียวสำหรับผลเฉลย 1 ข้อ เรายังคงยึดติดอยู่แค่ระดับความชำนาญและการเรียนจากสูตร (แม้ว่าดูจะเป็นเรื่องในอดีต) การคิดอย่างแท้จริงทำแค่ผิวเผิน จะมีสักกี่คนที่เข้าใจอย่างแท้จริง ว่าเหตุใดจำนวนลบคูณจำนวนลบ จึงเป็นจำนวนบวก เข้าใจเพียงแค่เป็นกฎที่ครูบอกให้จำ จะมีสักกี่คนที่เข้าใจพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ หรือความคิดเกี่ยวกับลิมิตอย่างแท้จริง เป็นการง่ายเกินไปที่ละเลยในรายละเอียดเหล่านี้ แต่ได้ทำให้หลักที่แท้จริงของคณิตศาสตร์สูญเสียไป ผู้เขียนไม่ได้ต้องการที่จะตำหนิครู เพราะผู้เขียนเองก็ผ่านวิธีการเช่นนี้มาถึง 11 ปี หากแต่ผู้ที่มีส่วนเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจหรือคณะกรรมการเกี่ยวกับการสอบ ฯลฯ จะต้องให้ความสนใจและพยายามหาจุดหมายที่เราจะต้องไปให้ถึงในอนาคต
มีความงดงามในคณิตศาสตร์ที่จะมองเห็นได้ก็ด้วย ผู้ที่ใฝ่ใจในคณิตศาสตร์เท่านั้น และคนส่วนใหญ่ก็ จะหัวเราะเยาะคำกล่าวนี้ ความงดงามนั้นยากแก่การ ที่จะให้นิยาม แต่สามารถคิดถึงการได้มา ซึ่งความ เป็นระเบียบจากความยุ่งเหยิง หรือได้รับความง่ายจาก ความยากซึ่งสามารถยังให้เกิดขึ้นได้ในวิชาคณิตศาสตร์ ถ้าเราสามารถเปลี่ยนเจตคติของนักเรียนให้มาชื่นชมกับ ความงามได้เมื่อใด เมื่อนั้นเราก็จะอยู่ในภาวะที่น่า พอใจ การพิสูจน์ (ปัจจุบันไม่มีแล้วในสก๊อตแลนด์) เป็นวิธีที่มีประโยชน์มากในการแสดงถึงความงามนี้ เช่น ความเป็นอตรรกยะของแต่ผู้เขียนคิดว่า วิธีสอน 'สมัยใหม่' จะเป็นที่ชื่นชอบของครูเป็นจำนวนมาก ปัจจุบันทฤษฎีบทแฟร์ มาต์ และทฤษฎีสี่สี ได้รับการพิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์ ในหลายกรณี ซึ่งอาจจะดูว่าเป็นการล้ำสมัย แต่จะมีคนเป็น จำนวนน้อยนิดที่เข้าใจ และผู้เขียนยังสงสัยว่า จะมีใคร สักคนหรือไม่ที่จะยอมรับว่ากรณีต่างๆเหล่านั้นเป็นข้อ พิสูจน์ที่สละสลวย
ด้วยการกำจัดแนวคิดเกี่ยวกับการพิสูจน์ออกไป เราได้สูญเสียความเข้าใจอย่างแท้จริงไปในระดับหนึ่ง เป็นการง่ายเกินไปที่จะกล่าวอย่างสั้นๆว่าสูตรหรือความคิดมาจากไหน โดยไม่ได้แสดงเหตุผลอันควร ผลก็คือนักเรียนก็ยังคงอยู่ในความมืดและยังคงถูกทำให้เชื่อว่าสูตรถูกดึงออกมาจากหมวกนั่นเอง เราสามารถที่กล่าวอย่างจริงใจได้หรือไม่ว่าการศึกษาคณิตศาสตร์ประสบความสำเร็จ ผู้เขียนไม่คิดว่าเป็นเช่นนั้น คณิตศาสตร์บริสุทธิ์เป็นจำนวนมากมีประโยชน์ในการนำไปใช้หลังจากที่ได้เรียนมาแล้วเป็นเวลาหลายปี ฉะนั้นอะไรที่เกี่ยวข้อง ณ เวลานี้จึงดูไม่เกี่ยวข้อง เป็นที่น่าเสียใจว่านักเรียนของเราไม่ค่อยได้รับการปลุกเร้าอย่างดีพอในเรื่องนี้
บางทีผู้คนในชุมชนคณิตศาสตร์อาจไม่ต้อง การปรับเปลี่ยนมากนัก 'ความเห่อทางวิชาการ' มี คำตอบให้เป็นจำนวนมาก ผู้เขียนจบการศึกษาจาก ชั้นเรียนที่มีนักเรียน 13 คน ซึ่งฟังแล้วดูดีกว่าชั้นเรียน ที่มี 130 คน การที่ไม่ให้คนส่วนใหญ่ได้แตะต้องคณิตศาสตร์ ทำให้สถานะของคนส่วนน้อยประสบความสำเร็จเพราะได้เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ แท้จริงแล้วชุมชนคณิตศาสตร์ไม่ได้ช่วยตัวเองได้สักเท่าไร อย่างไรก็ดีในฐานะนักคณิตศาสตร์ด้านการศึกษา เราควรพยายามส่งเสริมให้นักเรียนได้ลิ้มลองความคิดใหม่ๆ ได้มองเห็นความงดงามที่มีอยู่ในผลเฉลยอันประณีตนั้น
ผู้เขียนใคร่จะขอให้ผู้ที่กำหนดหลักสูตรเปิดโอกาสให้ได้ใช้วิธีสอนคณิตศาสตร์ด้วยวิธีที่แตกต่างออกไป เพราะเราไม่ต้องการเข้าสู่ศตวรรษที่ 21 ด้วยการเรียนคณิตศาสตร์ที่น่าเบื่อหน่าย ดังที่เป็นอยู่ในหลักสูตรปัจจุบัน เราจะต้องใช้วิธีที่สดชื่นกว่านี้ ซึ่งไม่ใช่ของง่าย แต่มีค่าควรแก่การทำ คณิตศาสตร์ เกิดขึ้นจากคนแล้วเหตุไฉนนักเรียนจึงไม่ค่อยได้ค้นคิด อะไรเกี่ยวกับชีวิตของพวกเขาเลย แน่นอนว่าเวลามีส่วนเกี่ยวข้อง แต่เวลาไม่ใช่คำตอบที่น่าพอใจอีก ต่อไป เราจะต้องมีเวลาที่จะปล่อยให้ความรู้สึกซึมซับ ทางคณิตศาสตร์ได้ค่อยๆพัฒนา ไม่ใช่สัมผัสแต่เพียงผิวเผิน คณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีการนำไปใช้โดยตรง คำประพันธ์ยังเกิดขึ้นเพื่อความสนุกสนานรื่นเริงใจ คณิตศาสตร์ก็ควรจะเป็นเช่นเดียวกันได้ คือเพื่อความสนุกสนานรื่นเริงใจ Bertrand Russell (Russell1, 1917) สรุปด้วยคำกล่าวว่า 'คณิตศาสตร์ ถ้ามองอย่างเป็นธรรมแล้วไม่เกี่ยวข้องเฉพาะความจริง เท่านั้น แต่ยังมีความงดงามอย่างยิ่งด้วย'
ส่วนใหญ่แล้วคณิตศาสตร์ในโรงเรียนไม่ค่อย ได้ใช้ประโยชน์นอกเสียจากเพียงเพื่อให้ผ่านการสอบ และผู้เขียนเชื่อว่าครูเป็นจำนวนมากน่าจะผิดหวัง ถ้าสิ่งนี้เป็นเหตุผลสำคัญสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ ของนักเรียน ฉะนั้นการที่ยินยอมให้นักเรียนได้ ลิ้มลองคุณค่าในเนื้อแท้ซึ่งนักคณิตศาสตร์มีความรู้สึก ว่า สิ่งนี้จะช่วยพวกเขาให้เกิดความเข้าใจในแนวคิดได้ดีขึ้นและช่วยลดความกลัวที่มีอยู่ได้ ถึงแม้ว่าผู้เขียน มิได้ต่อต้านเทคโนโลยีใหม่ๆ แต่ก็ไม่จำเป็นที่เทคโนโลยีเหล่านี้จะต้องเข้าสู่โรงเรียนในระดับชาติโดยสิ้นเชิง ซึ่งถือกันว่าจะช่วยการเรียนของนักเรียน ยังมีเวลาอีกมากในระดับมหาวิทยาลัยที่จะใช้เครื่องจัดการสัญลักษณ์ แต่น่าเสียดายที่มาตรฐานดูเหมือนจะอยู่ในระดับพื้นฐานเท่านั้น ที่ชัดเจนที่สุดคือพื้นฐานทักษะพีชคณิตเบื้องต้น ซึ่งเป็นประโยชน์ในการพิสูจน์ในหลายกรณี
ความกลัวคณิตศาสตร์เกิดขึ้นมาเป็นเวลาหลายทศวรรษแล้ว จงอย่าทำให้คนรุ่นต่อไปในอนาคตเกิดการผิดพลาดในการเรียนคณิตศาสตร์ในทางที่ถูกที่ควรอีกต่อไป คณิตศาสตร์มิใช่เพียงแค่การสร้างองค์ความรู้เท่านั้น แต่เป็นการสร้างเจตคติ และความเชื่อต่างๆด้วย จนกว่าเมื่อไรที่เราจะสามารถ เปลี่ยนความคิดให้เป็นเช่นนี้ได้ คณิตศาสตร์จะเป็นวิชาสำหรับคนหมู่น้อยเท่านั้น
เก็บความจากเรื่อง
Time for a Change ของ N. Grant Macleod ในวารสาร Mathematics in School ฉบับเดือน March 1998 หน้า 6 - 7
การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
สืบเนื่องจากการประชุมประจำปีของ NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) เรื่อง มาตรฐานหลักสูตรและการ ประเมินผล การพัฒนาความสามารถในการคิดในการให้เหตุผล และการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เป็นเป้าหมายหลักในการเรียนคณิตศาสตร์ถึงกระนั้นก็ดีมีนักเรียนเป็น จำนวนมากที่ไม่สามารถบรรลุเป้าหมายนี้ด้วยเหตุผลนานาประการ นับตั้งแต่ หนังสือเรียนไม่เหมาะสมไปจนถึงงานที่ได้รับมอบหมายไม่เกิดประโยชน์ การคิดและการให้เหตุผลในคณิตศาสตร์คืออะไร ครูจะรู้ได้อย่างไรว่า นักเรียนได้มีการคิดและให้เหตุผล
กิจกรรมนั้นโดยตัวเองแล้วไม่จัดว่าเป็นการให้เหตุผลและ การคิด การให้เหตุผลเกี่ยวกับสถานการณ์ใดสถานการณ์หนึ่ง เกิดจากการที่นักเรียนได้กระทำอะไรระหว่างที่เขาทำกิจกรรมนั้น เมื่อใดก็ตามที่นักเรียนกำลังตัดสินใจว่าจะเลือกใช้วิธีไหน จะปรับวิธีการต่างๆอย่างไร หรือจะประสมประสานความรู้ที่มี อยู่แล้วจากประสบการณ์เดิมอย่างไร นั่นหมายความว่าเด็กกำลัง คิดและให้เหตุผล แรกเริ่มที่นักเรียนทำกิจกรรมจะเกี่ยวข้อง กับการให้เหตุผลและการคิด แต่เมื่อได้แก้ปัญหาแบบเดียวกันซ้ำๆ นักเรียนก็มักจะใช้แต่วิธีการนำไปใช้เท่านั้น ระดับ "การคิด" ที่สูงขึ้นกว่านี้เป็นอย่างไร การมองดูอาจ ไม่ใช่ของจริง ท่านจะต้องมองเห็นนักเรียนไม่ใช่มองเห็นครู กระทำการสอน การพูดจาก็อาจไม่ใช่ของจริงแต่ท่านจะต้องได้ยินครู ถามคำถามนักเรียนว่าทำไม อะไรและอย่างไร ซึ่งเป็นคำถามที่ต้อง การคำตอบมากกว่าหนึ่งคำขึ้นไป ท่านจะต้องได้ยินนักเรียนกำลัง อธิบาย คาดเดา อธิบายรูปแบบ ให้ความคิดเห็น หรือสื่อ ความหมายในข้อวิเคราะห์ของเขา
การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์นี้กำลังจะบังเกิดขึ้น ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ทั่วสหรัฐ อเมริกา เมื่อภาคเรียนที่แล้ว ผู้เขียนเรื่องนี้ได้ไปเฝ้าดูนักเรียนเกรด 2 คิดเกี่ยวกับจำนวน คุกกี้ที่ครูจะต้องแจกให้นักเรียน 10 คน คนละ 2 ชิ้นต่อวัน ตั้งแต่ วันจันทร์ถึงศุกร์แทนการบอกวิธีให้นักเรียนคิด ครูจะ ให้นักเรียนจับคู่แล้วช่วยกันคิดวิธีที่จะแก้โจทย์ปัญหา นี้ นักเรียนบางคู่วาดรูปนักเรียน 10 คน ในมือแต่ละข้าง ของทุกคนถือคุกกี้ข้างละ 1 ชิ้นในแต่ละวัน แล้วเขาก็นับ จำนวนคุกกี้ในภาพ นักเรียนอีกคู่หนึ่ง สร้างตารางตั้งแต่วันจันทร์ ถึงศุกร์ ด้านซ้ายเป็นจำนวน 1-10 หาผลลัพธ์ของแต่ ละคอลัมน์ได้ 20 รวม 5 คอลัมน์ได้ 100 บางคู่ใช้เบี้ย แทนคุกกี้ บางคู่นับทีละ 10 สำหรับคุกกี้จำนวนแรกของ วันแรก อีก 10 ชิ้น ต่อไปเป็นจำนวนที่สองของวันแรก และต่อไปเรื่อย ๆ จนถึง 10 ชิ้นสุดท้าย การสนทนาของพวกเด็ก ๆ จะเกี่ยวกับวิธีจะทำ อย่างไรกับข้อมูลที่มีอยู่ และทำอย่างไรจะให้ได้ ผลลัพธ์ มีเด็กคนหนึ่งเขียนแค่ 56+44 = 100 บน กระดาษ ก็ได้รับการร้องขอให้อธิบายว่าคุกกี้เกี่ยวข้อง อย่างไรกับ 56 และ 44 นักเรียนเหล่านี้กำลังคิดและให้ เหตุผลอย่างแน่นอน นักเรียนที่มีวิธีการที่แตกต่างก็รับ ผิดชอบในการอธิบายวิธีคิดของเขาแก่เพื่อนร่วมชั้น เป็นการสังเกตการสอนที่มีคุณค่ามากในความเห็นของผู้เขียน
อีกชั้นเรียนหนึ่งที่ผู้เขียนได้ไปเฝ้าสังเกตคือเกรด 6 นักเรียนกำลังหาอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งกับเส้น ผ่านศูนย์กลาง กระบวนการนี้เด็กชายคู่หนึ่งได้ใช้กฎการหา พื้นที่วงกลม และได้รับการขอร้องให้อธิบาย คนแรกตอบไม่ถูกเขาตอบว่าถ้าท่านสร้าง สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งในวงกลม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปนั้นจะ เท่ากับ อีกคนไม่เห็นด้วยเขา สร้างวงกลมบนกระดานจากรัศมีเขาสร้างรูปสี่เหลี่ยมบน สี่เหลี่ยม ของ วงกลม แล้วชี้ให้เห็นว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม คือ "ถ้าพื้นที่ของวงกลมทั้งสิ้นคือ 4 r2 พื้นที่ก็จะมาก เกินไป จำนวนที่ถูกต้องน่าจะเพียงแค่ 3 เท่าของ รูปสี่เหลี่ยม หรือคือ ซึ่งผู้เขียนคิดว่าเป็น การอธิบายสูตรที่แยบยล
อีกตัวอย่างหนึ่งเป็นนักเรียนมัธยมปลายหลัง จากผ่าน Advanced Placement Calculus Test เมื่อภาคเรียนก่อน ครูจะตรวจสอบเรื่อง ภาคตัดกรวยที่ยากขึ้นกับเด็กที่เธอสอน ก่อนจะลงมือดำเนินการครูได้ให้ดูภาพยนต์แสดงถึงแต่ละภาคตัดกรวยจะมีส่วนร่วมของระนาบและรูปกรวย นักเรียนคนหนึ่งก็ถามขึ้นว่าระเบียบวิธีของส่วนร่วมเกี่ยวข้องกับนิยามของภาคตัดกรวยที่ใช้ระยะทางอย่างไร ครูก็ส่งคำถามให้นักเรียนในชั้นให้ช่วยกันคิด เพื่อหาข้อความคาดการณ์
ผู้เขียนรู้สึกทึ่งมากได้ให้ข้อเสนอแนะไปข้อสองข้อ เมื่อสัญญาณหมดเวลาดังขึ้น โดยยังหาข้อยุติไม่ได้ นักเรียนก็ต้องออกจากห้องไปโดยถกเถียงกันไประหว่างทางว่ากลวิธีใดจึงจะบังเกิดผล ครูก็ยอมรับว่าตัวเธอเองก็ไม่รู้คำตอบเหมือนกันแต่จะไปค้นคว้าต่อที่บ้าน (ผู้เขียนเองก็ไม่ทราบเหมือนกันก็ต้องไปตรวจสอบกับแหล่งที่เชื่อถือได้ต่อไป!) เห็นได้ชัดว่านักเรียนเหล่านั้นคุ้นเคยกับการเสี่ยง คุ้นเคยกับการให้ผลเฉลย และการอธิบายคำตอบ และคุ้นเคยกับการคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ กิจกรรมเหล่านี้ดูเหมือนและรู้สึกว่าเป็นตัวอย่างอันดีสำหรับการคิด และการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
พื้นฐานของมาตรฐานคณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่การมองดู หรือความรู้สึกที่เห็นหรือสังเกตได้ในชั้นเรียน หากแต่ต้องเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริง เด็ก ๆ ที่ยก ตัวอย่างข้างต้นนั้นได้นำเครื่องมือและกระบวนการ ที่ได้เรียนแล้วมาใช้ประโยชน์อย่างมีนัยสำคัญในคณิตศาสตร์ เป็นการสะท้อนผลการสอนของครู ฉะนั้นขณะที่ท่านวางแผนสำหรับบทเรียนในอนาคต ก็ควรที่จะพยายามหาทางหลายๆทางที่ให้นักเรียนได้มีส่วนเกี่ยวข้อง และไปให้เหนือกว่าขั้นการใช้ทักษะและกระบวนการ พยายามส่งเสริมให้นักเรียนบรรลุถึงเป้าหมายของคำว่า มาตรฐาน คือการคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
เรียบเรียงจากเรื่อง
Let's Talk about Mathematical Thinking and Reasoningของ Gail Burrill ในเอกสาร NCTM News Bulletin ฉบับเดือน January 1998 หน้า 3
สืบเนื่องจากการประชุมประจำปีของ NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) เรื่อง มาตรฐานหลักสูตรและการ ประเมินผล การพัฒนาความสามารถในการคิดในการให้เหตุผล และการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เป็นเป้าหมายหลักในการเรียนคณิตศาสตร์ถึงกระนั้นก็ดีมีนักเรียนเป็น จำนวนมากที่ไม่สามารถบรรลุเป้าหมายนี้ด้วยเหตุผลนานาประการ นับตั้งแต่ หนังสือเรียนไม่เหมาะสมไปจนถึงงานที่ได้รับมอบหมายไม่เกิดประโยชน์ การคิดและการให้เหตุผลในคณิตศาสตร์คืออะไร ครูจะรู้ได้อย่างไรว่า นักเรียนได้มีการคิดและให้เหตุผล
กิจกรรมนั้นโดยตัวเองแล้วไม่จัดว่าเป็นการให้เหตุผลและ การคิด การให้เหตุผลเกี่ยวกับสถานการณ์ใดสถานการณ์หนึ่ง เกิดจากการที่นักเรียนได้กระทำอะไรระหว่างที่เขาทำกิจกรรมนั้น เมื่อใดก็ตามที่นักเรียนกำลังตัดสินใจว่าจะเลือกใช้วิธีไหน จะปรับวิธีการต่างๆอย่างไร หรือจะประสมประสานความรู้ที่มี อยู่แล้วจากประสบการณ์เดิมอย่างไร นั่นหมายความว่าเด็กกำลัง คิดและให้เหตุผล แรกเริ่มที่นักเรียนทำกิจกรรมจะเกี่ยวข้อง กับการให้เหตุผลและการคิด แต่เมื่อได้แก้ปัญหาแบบเดียวกันซ้ำๆ นักเรียนก็มักจะใช้แต่วิธีการนำไปใช้เท่านั้น ระดับ "การคิด" ที่สูงขึ้นกว่านี้เป็นอย่างไร การมองดูอาจ ไม่ใช่ของจริง ท่านจะต้องมองเห็นนักเรียนไม่ใช่มองเห็นครู กระทำการสอน การพูดจาก็อาจไม่ใช่ของจริงแต่ท่านจะต้องได้ยินครู ถามคำถามนักเรียนว่าทำไม อะไรและอย่างไร ซึ่งเป็นคำถามที่ต้อง การคำตอบมากกว่าหนึ่งคำขึ้นไป ท่านจะต้องได้ยินนักเรียนกำลัง อธิบาย คาดเดา อธิบายรูปแบบ ให้ความคิดเห็น หรือสื่อ ความหมายในข้อวิเคราะห์ของเขา
การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์นี้กำลังจะบังเกิดขึ้น ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ทั่วสหรัฐ อเมริกา เมื่อภาคเรียนที่แล้ว ผู้เขียนเรื่องนี้ได้ไปเฝ้าดูนักเรียนเกรด 2 คิดเกี่ยวกับจำนวน คุกกี้ที่ครูจะต้องแจกให้นักเรียน 10 คน คนละ 2 ชิ้นต่อวัน ตั้งแต่ วันจันทร์ถึงศุกร์แทนการบอกวิธีให้นักเรียนคิด ครูจะ ให้นักเรียนจับคู่แล้วช่วยกันคิดวิธีที่จะแก้โจทย์ปัญหา นี้ นักเรียนบางคู่วาดรูปนักเรียน 10 คน ในมือแต่ละข้าง ของทุกคนถือคุกกี้ข้างละ 1 ชิ้นในแต่ละวัน แล้วเขาก็นับ จำนวนคุกกี้ในภาพ นักเรียนอีกคู่หนึ่ง สร้างตารางตั้งแต่วันจันทร์ ถึงศุกร์ ด้านซ้ายเป็นจำนวน 1-10 หาผลลัพธ์ของแต่ ละคอลัมน์ได้ 20 รวม 5 คอลัมน์ได้ 100 บางคู่ใช้เบี้ย แทนคุกกี้ บางคู่นับทีละ 10 สำหรับคุกกี้จำนวนแรกของ วันแรก อีก 10 ชิ้น ต่อไปเป็นจำนวนที่สองของวันแรก และต่อไปเรื่อย ๆ จนถึง 10 ชิ้นสุดท้าย การสนทนาของพวกเด็ก ๆ จะเกี่ยวกับวิธีจะทำ อย่างไรกับข้อมูลที่มีอยู่ และทำอย่างไรจะให้ได้ ผลลัพธ์ มีเด็กคนหนึ่งเขียนแค่ 56+44 = 100 บน กระดาษ ก็ได้รับการร้องขอให้อธิบายว่าคุกกี้เกี่ยวข้อง อย่างไรกับ 56 และ 44 นักเรียนเหล่านี้กำลังคิดและให้ เหตุผลอย่างแน่นอน นักเรียนที่มีวิธีการที่แตกต่างก็รับ ผิดชอบในการอธิบายวิธีคิดของเขาแก่เพื่อนร่วมชั้น เป็นการสังเกตการสอนที่มีคุณค่ามากในความเห็นของผู้เขียน
อีกชั้นเรียนหนึ่งที่ผู้เขียนได้ไปเฝ้าสังเกตคือเกรด 6 นักเรียนกำลังหาอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งกับเส้น ผ่านศูนย์กลาง กระบวนการนี้เด็กชายคู่หนึ่งได้ใช้กฎการหา พื้นที่วงกลม และได้รับการขอร้องให้อธิบาย คนแรกตอบไม่ถูกเขาตอบว่าถ้าท่านสร้าง สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งในวงกลม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปนั้นจะ เท่ากับ อีกคนไม่เห็นด้วยเขา สร้างวงกลมบนกระดานจากรัศมีเขาสร้างรูปสี่เหลี่ยมบน สี่เหลี่ยม ของ วงกลม แล้วชี้ให้เห็นว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม คือ "ถ้าพื้นที่ของวงกลมทั้งสิ้นคือ 4 r2 พื้นที่ก็จะมาก เกินไป จำนวนที่ถูกต้องน่าจะเพียงแค่ 3 เท่าของ รูปสี่เหลี่ยม หรือคือ ซึ่งผู้เขียนคิดว่าเป็น การอธิบายสูตรที่แยบยล
อีกตัวอย่างหนึ่งเป็นนักเรียนมัธยมปลายหลัง จากผ่าน Advanced Placement Calculus Test เมื่อภาคเรียนก่อน ครูจะตรวจสอบเรื่อง ภาคตัดกรวยที่ยากขึ้นกับเด็กที่เธอสอน ก่อนจะลงมือดำเนินการครูได้ให้ดูภาพยนต์แสดงถึงแต่ละภาคตัดกรวยจะมีส่วนร่วมของระนาบและรูปกรวย นักเรียนคนหนึ่งก็ถามขึ้นว่าระเบียบวิธีของส่วนร่วมเกี่ยวข้องกับนิยามของภาคตัดกรวยที่ใช้ระยะทางอย่างไร ครูก็ส่งคำถามให้นักเรียนในชั้นให้ช่วยกันคิด เพื่อหาข้อความคาดการณ์
ผู้เขียนรู้สึกทึ่งมากได้ให้ข้อเสนอแนะไปข้อสองข้อ เมื่อสัญญาณหมดเวลาดังขึ้น โดยยังหาข้อยุติไม่ได้ นักเรียนก็ต้องออกจากห้องไปโดยถกเถียงกันไประหว่างทางว่ากลวิธีใดจึงจะบังเกิดผล ครูก็ยอมรับว่าตัวเธอเองก็ไม่รู้คำตอบเหมือนกันแต่จะไปค้นคว้าต่อที่บ้าน (ผู้เขียนเองก็ไม่ทราบเหมือนกันก็ต้องไปตรวจสอบกับแหล่งที่เชื่อถือได้ต่อไป!) เห็นได้ชัดว่านักเรียนเหล่านั้นคุ้นเคยกับการเสี่ยง คุ้นเคยกับการให้ผลเฉลย และการอธิบายคำตอบ และคุ้นเคยกับการคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ กิจกรรมเหล่านี้ดูเหมือนและรู้สึกว่าเป็นตัวอย่างอันดีสำหรับการคิด และการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
พื้นฐานของมาตรฐานคณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่การมองดู หรือความรู้สึกที่เห็นหรือสังเกตได้ในชั้นเรียน หากแต่ต้องเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริง เด็ก ๆ ที่ยก ตัวอย่างข้างต้นนั้นได้นำเครื่องมือและกระบวนการ ที่ได้เรียนแล้วมาใช้ประโยชน์อย่างมีนัยสำคัญในคณิตศาสตร์ เป็นการสะท้อนผลการสอนของครู ฉะนั้นขณะที่ท่านวางแผนสำหรับบทเรียนในอนาคต ก็ควรที่จะพยายามหาทางหลายๆทางที่ให้นักเรียนได้มีส่วนเกี่ยวข้อง และไปให้เหนือกว่าขั้นการใช้ทักษะและกระบวนการ พยายามส่งเสริมให้นักเรียนบรรลุถึงเป้าหมายของคำว่า มาตรฐาน คือการคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
เรียบเรียงจากเรื่อง
Let's Talk about Mathematical Thinking and Reasoningของ Gail Burrill ในเอกสาร NCTM News Bulletin ฉบับเดือน January 1998 หน้า 3
6 เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ เคล็ดลับสำหรับเด็กเกลียดเลข
6 เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ เคล็ดลับสำหรับเด็กเกลียดเลข
คอลัมน์....โรงเรียนในฝัน วันจันทร์ ที่ 29 สิงหาคม 2548 สถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว) นำทีมโดย ศ.ดร.ศรียา นิยมธรรม รองประธานสถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว) จัดประชุมเชิงปฏิบัติการ เรื่อง “เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์เด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้ด้านคณิตศาสตร์” ขึ้น ณ ห้องประชุมสำนักหอสมุดกลาง ชั้น 8 มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ
งานนี้สืบเนื่องมาจากสัปดาห์ที่มีการคัดกรองเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ ว่าเด็กแต่ละคนมีความบกพร่องทางด้านใด เมื่อได้แล้วก็เข้าสู่กระบวนการช่วยเหลือ ซึ่งทางสถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ จัดประชุมเชิงปฏิบัติการเทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ให้แก่ครูผู้สอน นางสาวพัชรินทร์ เสรี นิสิตระดับปริญญาเอก สาขาการศึกษาพิเศษ คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ บอกว่างานในช่วงเช้าของวันที่ 29 สิงหาคม 2548 จะมีการบรรยายเรื่อง “ความรู้ทั่วไปเกี่ยวกับเด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้”ในช่วงบ่ายจะเข้าสู่การบรรยายเทคนิควิธีการสอนเด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้ด้านคณิตศาสตร์ “เด็กที่มีความบกพร่องทางด้านคณิตศาสตร์ ความรู้ด้านคณิตศาสตร์จะไม่ได้ตามวัยของเด็ก อย่างเช่นการบวก ลบ คูณ หาร จำนวนต่างๆ เด็กจะไม่รู้ตามวัยที่ควรจะรู้” ส่วนเทคนิคที่จะนำมาสาธิตให้ครูที่เข้าร่วมการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งนี้ได้เรียนรู้ มีทั้งสิ้น 6 วิธีซึ่งใช้ได้ผลในเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ ประกอบด้วย 1.ใช้การละเล่นพื้นบ้าน ใช้เกมการละเล่นพื้นบ้านมาสอนเด็ก ซึ่งจะสอนเรื่องการเปรียบเทียบ การวัดระยะทาง การบวกลบคูณหาร 2.สอนเทคนิคการอ่านโจทย์เลข เด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้จะอ่านโจทย์เลขไม่ได้ ซึ่งจะอ่านไม่เข้าใจ ไม่รู้ว่าโจทย์ถามอะไร หมายความอย่างไร เมื่ออ่านโจทย์ไม่ได้ก็จะส่งผลถึงการคิดเลขด้วย ซึ่งเราจะใช้วิธีการทางกราฟิกเข้ามาช่วยในการอ่านโจทย์ปัญหา 3.ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เน้นคำถามเชิงเปรียบเทียบและคำถามเชิงเหตุผลแต่ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เราอาจจะสอนเด็กด้วยการปั้นหุ่นยนต์ซึ่งอาจจะมีอุปกรณ์เป็นดินน้ำมันหรือแป้งโด กระดาษ จากนั้นคุณครูอาจบอกว่า มีแป้งโดกับกระดาษ และถ้านำของสองสิ่งนี้ไปวางที่ประตูแล้วมีลมพัดมา นักเรียนคิดว่าระหว่างแป้งโดกับกระดาษอะไรจะปลิวไป นักเรียนที่มีปัญหาด้านความบกพร่องทางการเรียนรู้จะเปรียบเทียบไม่ได้ว่าอะไรหนักหรือเบากว่ากัน ลักษณะการสอนเช่นนี้เป็นการสอนเปรียบเทียบและต้องสอนต่อว่าถ้ากระดาษปลิวเพราะอะไร 4.การอ่านการ์ตูน เราต้องทำเป็นเรื่องราวสอนเกี่ยวกับตัวเลข บวก ลบ คูณหารเด็กจะสนุกกับภาพการ์ตูนและจะเรียนรู้ได้มากขึ้น 5.การเล่นบทบาทสมมติ อาจจะให้เด็กนักเรียนในชั้นออกมานับหนังสือ 20 เล่ม จากนั้นให้เพื่อนออกมาหน้าชั้นเรียนอีก 5 คน นักเรียนคิดว่าจะได้คนละกี่เล่ม จากนั้นเด็กก็จะเริ่มแจกจนหนังสือหมด แล้วเด็กจะได้คำตอบเป็นการสอนเรื่องการหาร 6.เกม ซึ่งจะใช้เกมเศรษฐีและการทอยลูกเต๋า เป็นการสอนเรื่องตัวเลข เด็กจะรู้ว่าแต้มไหนมากกว่าแต้มไหนน้อยกว่า การสอนวิชาการเพียงอย่างเดียวจะใช้ไม่ได้ผลกับเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ เด็กจะชอบความสนุกต้องออกแบบการเรียนการสอนที่เน้นทั้งการเรียนและการเล่นให้อยู่ด้วยกัน การเรียนลักษณะนี้เป็นรูปธรรมชัดเจน เด็กจะเข้าใจง่ายเรียนรู้ได้เร็ว สิ่งที่น่าห่วงก็คือ ครูไทยบางคนไม่ชอบการปรับการเรียนการสอน บางคนติดอยู่กับขั้นตอนมากเกินไป และจะไม่สนุกในการทำกิจกรรมกับเด็กแต่ถ้าเป็นครูที่เข้าใจและสอนไปเล่นไปก็จะสอนเด็กกลุ่มนี้ได้ดี "ณ ปัจจุบันนี้คิดว่าพอจะมีครูที่เข้าใจเด็กและสอนด้วยความเข้าใจว่าเด็กมีความหลากหลาย ต้องปรับวิธีการสอนให้หลากหลายมากขึ้น คิดว่ามีมากขึ้นกว่าในอดีต และวิธีการสอนเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ก็เป็นอีกวิธีการหนึ่งที่ครูไทยควรจะได้เรียนรู้เพื่อปรับใช้ในการสอนต่อไป”
โดย ทีมวิชาการ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว.)
ที่มาผู้จัดการออนไลน์ วันจันทร์ที่ 29 สิงหาคม 2548
คอลัมน์....โรงเรียนในฝัน วันจันทร์ ที่ 29 สิงหาคม 2548 สถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว) นำทีมโดย ศ.ดร.ศรียา นิยมธรรม รองประธานสถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว) จัดประชุมเชิงปฏิบัติการ เรื่อง “เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์เด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้ด้านคณิตศาสตร์” ขึ้น ณ ห้องประชุมสำนักหอสมุดกลาง ชั้น 8 มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ
งานนี้สืบเนื่องมาจากสัปดาห์ที่มีการคัดกรองเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ ว่าเด็กแต่ละคนมีความบกพร่องทางด้านใด เมื่อได้แล้วก็เข้าสู่กระบวนการช่วยเหลือ ซึ่งทางสถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ จัดประชุมเชิงปฏิบัติการเทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ให้แก่ครูผู้สอน นางสาวพัชรินทร์ เสรี นิสิตระดับปริญญาเอก สาขาการศึกษาพิเศษ คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ บอกว่างานในช่วงเช้าของวันที่ 29 สิงหาคม 2548 จะมีการบรรยายเรื่อง “ความรู้ทั่วไปเกี่ยวกับเด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้”ในช่วงบ่ายจะเข้าสู่การบรรยายเทคนิควิธีการสอนเด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้ด้านคณิตศาสตร์ “เด็กที่มีความบกพร่องทางด้านคณิตศาสตร์ ความรู้ด้านคณิตศาสตร์จะไม่ได้ตามวัยของเด็ก อย่างเช่นการบวก ลบ คูณ หาร จำนวนต่างๆ เด็กจะไม่รู้ตามวัยที่ควรจะรู้” ส่วนเทคนิคที่จะนำมาสาธิตให้ครูที่เข้าร่วมการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งนี้ได้เรียนรู้ มีทั้งสิ้น 6 วิธีซึ่งใช้ได้ผลในเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ ประกอบด้วย 1.ใช้การละเล่นพื้นบ้าน ใช้เกมการละเล่นพื้นบ้านมาสอนเด็ก ซึ่งจะสอนเรื่องการเปรียบเทียบ การวัดระยะทาง การบวกลบคูณหาร 2.สอนเทคนิคการอ่านโจทย์เลข เด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้จะอ่านโจทย์เลขไม่ได้ ซึ่งจะอ่านไม่เข้าใจ ไม่รู้ว่าโจทย์ถามอะไร หมายความอย่างไร เมื่ออ่านโจทย์ไม่ได้ก็จะส่งผลถึงการคิดเลขด้วย ซึ่งเราจะใช้วิธีการทางกราฟิกเข้ามาช่วยในการอ่านโจทย์ปัญหา 3.ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เน้นคำถามเชิงเปรียบเทียบและคำถามเชิงเหตุผลแต่ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เราอาจจะสอนเด็กด้วยการปั้นหุ่นยนต์ซึ่งอาจจะมีอุปกรณ์เป็นดินน้ำมันหรือแป้งโด กระดาษ จากนั้นคุณครูอาจบอกว่า มีแป้งโดกับกระดาษ และถ้านำของสองสิ่งนี้ไปวางที่ประตูแล้วมีลมพัดมา นักเรียนคิดว่าระหว่างแป้งโดกับกระดาษอะไรจะปลิวไป นักเรียนที่มีปัญหาด้านความบกพร่องทางการเรียนรู้จะเปรียบเทียบไม่ได้ว่าอะไรหนักหรือเบากว่ากัน ลักษณะการสอนเช่นนี้เป็นการสอนเปรียบเทียบและต้องสอนต่อว่าถ้ากระดาษปลิวเพราะอะไร 4.การอ่านการ์ตูน เราต้องทำเป็นเรื่องราวสอนเกี่ยวกับตัวเลข บวก ลบ คูณหารเด็กจะสนุกกับภาพการ์ตูนและจะเรียนรู้ได้มากขึ้น 5.การเล่นบทบาทสมมติ อาจจะให้เด็กนักเรียนในชั้นออกมานับหนังสือ 20 เล่ม จากนั้นให้เพื่อนออกมาหน้าชั้นเรียนอีก 5 คน นักเรียนคิดว่าจะได้คนละกี่เล่ม จากนั้นเด็กก็จะเริ่มแจกจนหนังสือหมด แล้วเด็กจะได้คำตอบเป็นการสอนเรื่องการหาร 6.เกม ซึ่งจะใช้เกมเศรษฐีและการทอยลูกเต๋า เป็นการสอนเรื่องตัวเลข เด็กจะรู้ว่าแต้มไหนมากกว่าแต้มไหนน้อยกว่า การสอนวิชาการเพียงอย่างเดียวจะใช้ไม่ได้ผลกับเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ เด็กจะชอบความสนุกต้องออกแบบการเรียนการสอนที่เน้นทั้งการเรียนและการเล่นให้อยู่ด้วยกัน การเรียนลักษณะนี้เป็นรูปธรรมชัดเจน เด็กจะเข้าใจง่ายเรียนรู้ได้เร็ว สิ่งที่น่าห่วงก็คือ ครูไทยบางคนไม่ชอบการปรับการเรียนการสอน บางคนติดอยู่กับขั้นตอนมากเกินไป และจะไม่สนุกในการทำกิจกรรมกับเด็กแต่ถ้าเป็นครูที่เข้าใจและสอนไปเล่นไปก็จะสอนเด็กกลุ่มนี้ได้ดี "ณ ปัจจุบันนี้คิดว่าพอจะมีครูที่เข้าใจเด็กและสอนด้วยความเข้าใจว่าเด็กมีความหลากหลาย ต้องปรับวิธีการสอนให้หลากหลายมากขึ้น คิดว่ามีมากขึ้นกว่าในอดีต และวิธีการสอนเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ก็เป็นอีกวิธีการหนึ่งที่ครูไทยควรจะได้เรียนรู้เพื่อปรับใช้ในการสอนต่อไป”
โดย ทีมวิชาการ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว.)
ที่มาผู้จัดการออนไลน์ วันจันทร์ที่ 29 สิงหาคม 2548
ประวัติ แคลคูลัส
ประวัติ แคลคูลัส
แคลคูลัส เป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญอย่างยิ่ง สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการอธิบายกฎเกณฑ์ธรรมชาติ เป็นพื้นฐานของความเข้าใจโลก และปรากฎการณ์ต่าง ๆ แคลคูลัสช่วยให้เราสามารถคำนวณวงโคจรของดาวต่าง ๆ ช่วยให้เราคำนวณกระแสน้ำ การคำนวณหาเส้นแรงในอาคารรูปแปลก ๆ เพื่อให้สามารถสร้างอาคารเหล่านั้น เป็นวิชาที่จำเป็นสำหรับนักวิทยาศาสตร์แทบทุกแขนง
ผู้ที่เกิดแนวคิดเรื่องแคลคูลัสก่อนผู้ใด เมื่อราว ปี 1667 เซอร์ ไอแสค นิวตัน นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ สนใจในเรื่องคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา กฎเกณฑ์ของการเปลี่ยนแปลงนี้เอง ทำให้เป็นที่มาของแคลคูลัส ในเรื่องของอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล ต่อมาไม่นานก็มีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ กอตฟริค ไลปนิช ก็เกิดแนวติดในทำนองเดียวกัน ทั้งสองคนเขียนจดหมายแลกเปลี่ยนทัศนะ และแนวคิดกัน
แคลคูลัสเป็นคณิตศาสตร์ที่ถือกำเนิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 แต่ถ้าไล่ย้อนไปในอดีต ก็จะพบแนวความคิดหรือเทคนิคต่าง ๆที่นักคณิตศาสตร์สมัยก่อนหน้านั้นได้ช่วยคิดช่วยสร้างมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณโน่น ซึ่งมีรายละเอียดมาก พอจะสรุปหลัก ๆ ที่สำคัญ ดังนี้
นักคณิตศาสตร์สมัยโบราณหลายคน เช่น อาร์คิมีดิส เคยคิดวิธีหาเส้นสัมผัสรูปร่างเกลียวหอย โจทย์ข้อนี้สำคัญมาก เพราะน่าจะเป็นโจทย์เกี่ยวกับ เส้นสัมผัสหรือ “ดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส” เพียงข้อเดียวในประวัติศาสตร์ ส่วนที่เหลือ เช่น การคำนวนหาพื้นที่วงกลม ปริมาตร และพื้นผิวของทรงกลมได้อย่างไร ซึ่งจากมุมมองสมัยนี้ เป็นโจทย์เกี่ยวกับผลรวม หรือ “อินทิกรัลแคลคูลัส” ทั้งสิ้น
นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ได้ตั้งโจทย์เกี่ยวกับ ลิมิต และค่าอนันอีกด้วย แต่ที่น่าจะสำคัญที่สุดคือ เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "วิธีใช้ทั้งหมดของยูโดซัส" ซึ่งมีหลักการง่าย ๆว่า ถ้าต้องการคำนวณหาพื้นที่รูปทรงประหลาดๆ ที่สนใจก็แบ่งพื้นที่ให้เป็นรูปง่าย ๆ เช่น รูป 3 เหลี่ยม 4 เหลี่ยม โดยเริ่มจากการใช้รูปง่าย ๆ ใส่ลงไปในพื้นที่ที่ต้องการหาและซอยย่อยลงไปเรื่อย ๆ ดังนั้นผลรวมก็จะได้ใกล้เคียงกับพื้นที่ที่ต้องการ
นี่คือเทคนิคการอินทิเกรต โดยใช้ภาพ ของนักคณิตศาสตร์กรีกโบราณนั่นเอง นักคณิตศาสตร์ชาวเอเชียก็มีผู้คิด"ปฐมแคลคูลัส"ไว้คือ คนจีนกับคนญี่ปุ่น นักคณิตศาสตร์ญี่ปุ่นคำนวนหาพื้นที่วงกลม โดยแบ่งเป็นแถบ4 เหลี่ยมย่อย ๆ
จวบจนถึงคริต์ศตวรรษที่ 14 จึงมีคำถามประเภทว่า วัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วไม่คงที่ จะหาระยะทางที่วิ่งไปได้อย่างไร แต่แคลคูลัสสมัยใหม่ต้องรอเวลานานกว่าจะถือกำเนิดขึ้นได้ เพราะแคลคูลัส จำเป็นต้องใช้แนวคิดจากคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ หลายวิชานำมาก่อน เช่น ฟังก์ชั่น พีชคณิตสัญลักษณ์ และเรขาคณิตวิเคราะห์
แนวคิดเรื่องฟังก์ชันนี้มาสุกงอม ตอนที่กาลิเลโอมาศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่ ส่วนสองเรื่องหลังคือ พีชคณิตสัญลักษณ์ และเรขาคณิตวิเคราะห์ เป็นฝีมือของเดอคาร์ตส์ยอดนักคณิตศาสตร์ที่คิดแกนอ้างอิงแบบคาร์ทีเชียนให้เราใช้กันจนถึงเดี๋ยวนี้นี่เอง
แคลคูลัส เป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญอย่างยิ่ง สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการอธิบายกฎเกณฑ์ธรรมชาติ เป็นพื้นฐานของความเข้าใจโลก และปรากฎการณ์ต่าง ๆ แคลคูลัสช่วยให้เราสามารถคำนวณวงโคจรของดาวต่าง ๆ ช่วยให้เราคำนวณกระแสน้ำ การคำนวณหาเส้นแรงในอาคารรูปแปลก ๆ เพื่อให้สามารถสร้างอาคารเหล่านั้น เป็นวิชาที่จำเป็นสำหรับนักวิทยาศาสตร์แทบทุกแขนง
ผู้ที่เกิดแนวคิดเรื่องแคลคูลัสก่อนผู้ใด เมื่อราว ปี 1667 เซอร์ ไอแสค นิวตัน นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ สนใจในเรื่องคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา กฎเกณฑ์ของการเปลี่ยนแปลงนี้เอง ทำให้เป็นที่มาของแคลคูลัส ในเรื่องของอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล ต่อมาไม่นานก็มีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ กอตฟริค ไลปนิช ก็เกิดแนวติดในทำนองเดียวกัน ทั้งสองคนเขียนจดหมายแลกเปลี่ยนทัศนะ และแนวคิดกัน
แคลคูลัสเป็นคณิตศาสตร์ที่ถือกำเนิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 แต่ถ้าไล่ย้อนไปในอดีต ก็จะพบแนวความคิดหรือเทคนิคต่าง ๆที่นักคณิตศาสตร์สมัยก่อนหน้านั้นได้ช่วยคิดช่วยสร้างมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณโน่น ซึ่งมีรายละเอียดมาก พอจะสรุปหลัก ๆ ที่สำคัญ ดังนี้
นักคณิตศาสตร์สมัยโบราณหลายคน เช่น อาร์คิมีดิส เคยคิดวิธีหาเส้นสัมผัสรูปร่างเกลียวหอย โจทย์ข้อนี้สำคัญมาก เพราะน่าจะเป็นโจทย์เกี่ยวกับ เส้นสัมผัสหรือ “ดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส” เพียงข้อเดียวในประวัติศาสตร์ ส่วนที่เหลือ เช่น การคำนวนหาพื้นที่วงกลม ปริมาตร และพื้นผิวของทรงกลมได้อย่างไร ซึ่งจากมุมมองสมัยนี้ เป็นโจทย์เกี่ยวกับผลรวม หรือ “อินทิกรัลแคลคูลัส” ทั้งสิ้น
นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ได้ตั้งโจทย์เกี่ยวกับ ลิมิต และค่าอนันอีกด้วย แต่ที่น่าจะสำคัญที่สุดคือ เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "วิธีใช้ทั้งหมดของยูโดซัส" ซึ่งมีหลักการง่าย ๆว่า ถ้าต้องการคำนวณหาพื้นที่รูปทรงประหลาดๆ ที่สนใจก็แบ่งพื้นที่ให้เป็นรูปง่าย ๆ เช่น รูป 3 เหลี่ยม 4 เหลี่ยม โดยเริ่มจากการใช้รูปง่าย ๆ ใส่ลงไปในพื้นที่ที่ต้องการหาและซอยย่อยลงไปเรื่อย ๆ ดังนั้นผลรวมก็จะได้ใกล้เคียงกับพื้นที่ที่ต้องการ
นี่คือเทคนิคการอินทิเกรต โดยใช้ภาพ ของนักคณิตศาสตร์กรีกโบราณนั่นเอง นักคณิตศาสตร์ชาวเอเชียก็มีผู้คิด"ปฐมแคลคูลัส"ไว้คือ คนจีนกับคนญี่ปุ่น นักคณิตศาสตร์ญี่ปุ่นคำนวนหาพื้นที่วงกลม โดยแบ่งเป็นแถบ4 เหลี่ยมย่อย ๆ
จวบจนถึงคริต์ศตวรรษที่ 14 จึงมีคำถามประเภทว่า วัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วไม่คงที่ จะหาระยะทางที่วิ่งไปได้อย่างไร แต่แคลคูลัสสมัยใหม่ต้องรอเวลานานกว่าจะถือกำเนิดขึ้นได้ เพราะแคลคูลัส จำเป็นต้องใช้แนวคิดจากคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ หลายวิชานำมาก่อน เช่น ฟังก์ชั่น พีชคณิตสัญลักษณ์ และเรขาคณิตวิเคราะห์
แนวคิดเรื่องฟังก์ชันนี้มาสุกงอม ตอนที่กาลิเลโอมาศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่ ส่วนสองเรื่องหลังคือ พีชคณิตสัญลักษณ์ และเรขาคณิตวิเคราะห์ เป็นฝีมือของเดอคาร์ตส์ยอดนักคณิตศาสตร์ที่คิดแกนอ้างอิงแบบคาร์ทีเชียนให้เราใช้กันจนถึงเดี๋ยวนี้นี่เอง
ความคิดของนักคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ
ความคิดของนักคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ
จากที่กล่าวมาแล้วว่า จุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์มาจากการนับ ราวประมาณ 2000 ก่อนคริสต์ศักราช ชาวบาลิโลเนียได้เริ่มพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ มีการนับตัวเลข การแบ่งหน่วย มีลักษณะเป็นเลขจำนวนเต็ม และแบ่งส่วนย่อยมีฐาน 60 ดังที่ใช้มาในเรื่องเวลาจนถึงปัจจุบัน
การคิดคำนวณเกี่ยวกับตัวเลขที่รู้จักกันดีคือ ทฤษฎีบทพีธากอรัส ที่รู้จักและรวบรวมพิสูจน์โดยพีธากอรัส ก็มีการคิดคำนวณกันมาประมาณ 1700 ก่อนคริสตกาล แล้ว ในช่วงเวลานั้นชาวบาบิโลเนียก็รู้จักวิธีการแก้สมการเชิงเส้น และสมการกำลังสอง ซึ่งเป็นต้นแบบสำหรับวิชาพีชคณิตในเวลาต่อมา
ชาวกรีกมีการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่อง โดยเฉพาะปัญหาทางด้านเรขาคณิต โดยเฉพาะการหาขนาดพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต และผลที่น่าสนใจคือ การคำนวณหาค่าของ ชาวกรีกยังรับเอาวิทยาการต่าง ๆ ของยุคบาบิโลเนีย จนถึงยุคกรีกในช่วงเวลาประมาณ 450 ก่อนคริสตกาล
ชาวกรีกโบราณได้ศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับรูปตัดกรวย เป็นผลของการศึกษาที่เกี่ยวโยง เพื่อการค้นคว้าทางดาราศาสตร์ และทำให้เกิดวิชาตรีโกณมิติ ขณะที่วิทยาการทางคณิตศาสตร์ที่กรีก กำลังรุ่งเรือง ประเทศในกลุ่มอิสลามซึ่งได้แก่ อิหร่าน ซีเรีย และอินเดีย ก็มีการพัฒนาและศึกษาวิชาการทางด้านคณิตศาสตร์ ต่อจากนั้นวิทยาการทางด้านคณิตศาสตร์ก็แพร่กลับไปยังยุโรป ทำให้มีการพัฒนาการต่อเนื่องไปศตวรรษที่สิบแปด
วิทยาการทางคณิตศาสตร์ในยุโรป เริ่มขึ้นในราวศตวรรษที่ 16 ซึ่งในช่วงนั้นมีนักคณิตศาสตร์หลายคนที่ทำการศึกษาค้นคว้าทางพีชคณิต และต่อเนื่องมากในหลักการทางแคลคูลัส
ระหว่างศตวรรษที่ 17 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไปในทางที่ก้าวหน้าอย่างรวดเร็ว โดยเน้นไปในทางเรขาคณิตและแคลคูลัส เพื่อให้เห็นแนวคิดที่สำคัญของการพัฒนาที่สำคัญเกี่ยวข้องกับนักคณิตศาสตร์ผู้ซึ่งมีบทบาทที่สำคัญต่อแนวคิด
ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์
จากที่กล่าวมาแล้วว่า จุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์มาจากการนับ ราวประมาณ 2000 ก่อนคริสต์ศักราช ชาวบาลิโลเนียได้เริ่มพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ มีการนับตัวเลข การแบ่งหน่วย มีลักษณะเป็นเลขจำนวนเต็ม และแบ่งส่วนย่อยมีฐาน 60 ดังที่ใช้มาในเรื่องเวลาจนถึงปัจจุบัน
การคิดคำนวณเกี่ยวกับตัวเลขที่รู้จักกันดีคือ ทฤษฎีบทพีธากอรัส ที่รู้จักและรวบรวมพิสูจน์โดยพีธากอรัส ก็มีการคิดคำนวณกันมาประมาณ 1700 ก่อนคริสตกาล แล้ว ในช่วงเวลานั้นชาวบาบิโลเนียก็รู้จักวิธีการแก้สมการเชิงเส้น และสมการกำลังสอง ซึ่งเป็นต้นแบบสำหรับวิชาพีชคณิตในเวลาต่อมา
ชาวกรีกมีการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่อง โดยเฉพาะปัญหาทางด้านเรขาคณิต โดยเฉพาะการหาขนาดพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต และผลที่น่าสนใจคือ การคำนวณหาค่าของ ชาวกรีกยังรับเอาวิทยาการต่าง ๆ ของยุคบาบิโลเนีย จนถึงยุคกรีกในช่วงเวลาประมาณ 450 ก่อนคริสตกาล
ชาวกรีกโบราณได้ศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับรูปตัดกรวย เป็นผลของการศึกษาที่เกี่ยวโยง เพื่อการค้นคว้าทางดาราศาสตร์ และทำให้เกิดวิชาตรีโกณมิติ ขณะที่วิทยาการทางคณิตศาสตร์ที่กรีก กำลังรุ่งเรือง ประเทศในกลุ่มอิสลามซึ่งได้แก่ อิหร่าน ซีเรีย และอินเดีย ก็มีการพัฒนาและศึกษาวิชาการทางด้านคณิตศาสตร์ ต่อจากนั้นวิทยาการทางด้านคณิตศาสตร์ก็แพร่กลับไปยังยุโรป ทำให้มีการพัฒนาการต่อเนื่องไปศตวรรษที่สิบแปด
วิทยาการทางคณิตศาสตร์ในยุโรป เริ่มขึ้นในราวศตวรรษที่ 16 ซึ่งในช่วงนั้นมีนักคณิตศาสตร์หลายคนที่ทำการศึกษาค้นคว้าทางพีชคณิต และต่อเนื่องมากในหลักการทางแคลคูลัส
ระหว่างศตวรรษที่ 17 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไปในทางที่ก้าวหน้าอย่างรวดเร็ว โดยเน้นไปในทางเรขาคณิตและแคลคูลัส เพื่อให้เห็นแนวคิดที่สำคัญของการพัฒนาที่สำคัญเกี่ยวข้องกับนักคณิตศาสตร์ผู้ซึ่งมีบทบาทที่สำคัญต่อแนวคิด
ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์
เรื่องที่น่าจะสอนได้ในชั่วโมงกิจกรรมคณิตศาสตร์
เรื่องที่น่าจะสอนได้ในชั่วโมงกิจกรรมคณิตศาสตร์
ยุดา กีรติรักษ์***
- ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ครูมักจะมีปัญหาว่า จะสอนอย่างไร จึงจะทำให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอด (Concept)จะใช้อุปกรณ์รูปภาพ หรือจะหาตัวอย่างอย่างไรดี ซึ่งคิดว่าครูหลาย ๆ ท่านคงจะเห็นด้วยว่า การสอนให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอดขี้นมาเองได้นั้น ทำได้ยากกว่าการสอนด้วยการบอกหลายเท่านัก ไหนจะปัญหาที่ว่า ระดับความสามารถในชั้นเรียนของนักเรียนแตกต่างกัน นักเรียนมีพื้นฐานไม่เท่ากัน ครูหลายท่านจึงจำเป็นต้องรวบรัดด้วยการบอก แทนที่จะเป็นการสอนแบบสืบเสาะ (discoverymethod) อย่างที่ตั้งใจจะทำ
- อย่างไรก็ดี ก็คงจะไม่ปฏิเสธว่า ก่อนที่นักเรียนจะทำโจทย์ปัญหาที่เป็นการวิเคราะห์ได้ นักเรียนจะต้องมีความเข้าใจในเนื้อหา จึงจะนำไปใช้และวิเคราะห์ได้ ในเมื่อครูหลายท่านไม่สามารถใช้วิธีการที่ต้องการในชั้นเรียนได้ ก็น่าจะทำได้ในชั่วโมงกิจกรรมซ่อมเสริม ซึ่งครูไม่จำเป็นต้องกังวลว่านักเรียนส่วนใหญ่ในชั้นเรียนจะตามได้ทันหรือไม่ เพราะเนื้อหาที่นำมาสอนไม่จำเป็นจะต้องเป็นสิ่งที่อยู่ในบทเรียนเสมอไป และก็ไม่จำเป็นต้องมีเนื้อเรื่อง หรือโจทย์ปัญหามากมาย
- ตัวอย่างที่จะยกมานี้ใช้ชุดภาพเพียงชุดเดียว แต่ครูสามารถใช้คำถามได้หลายแบบเพื่อให้นักเรียนได้ฝึกคิด โดยลำดับความยากง่ายของคำถามไว้ให้เหมาะสมกับความสามารถของนักเรียน ทั้งนี้ ครูควรพิจารณาได้เองตามความเหมาะสมของแต่ละชั้นเรียน (ดังจะเสนอตัวอย่างเรื่องที่น่าจะนำไปสอนในชั่วโมงดังกล่าวดังนี้)
- ครูยกบัตรภาพตามรูปทางขวามือ ทีละภาพ แล้วให้นักเรียนบอกจำนวนจุดบนภาพที่ครูยกให้ดู
- ครูเขียนจำนวนที่นักเรียนบอกบนกระดาน ดังนี้
1, 4, 9, 16, 25
- จากนั้นครูใช้คำถามถามนักเรียนว่า ถ้าครูยกแผ่นภาพในทำนองเดียวกันนี้อีก จำนวนต่อไปควรจะเป็นจำนวนอะไร ให้นักเรียนในชั้นช่วยกันตอบ ซึ่งนักเรียนควรจะบอกไปได้เรื่อย ๆเป็น
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...
- เมื่อจำนวนมีค่ามากขี้น จนนักเรียนไม่สามารถบอกออกมาได้ทันทีแล้ว นักเรียนควรจะบอกได้ว่า จำนวนที่จะเขียนต่อไปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนนับ หรือเขียนได้อีกแบบดังนี้
12 , 22 , 32 , 42 , 52 , 62 , 72 , 82 , 92 , 102 , 112....
- เรื่อย ๆไป ซึ่งนักเรียนบางคนอาจจะสรุปรูปแบบข้างต้นนี้ได้ จากสูตรของการหาพื้นที่โดยสังเกตจากรูปที่ครูยกให้ดูก็ได้ แต่สิ่งที่ครูต้องการให้นักเรียนตอบไม่ใช่เพียงคำตอบที่ถูกต้อง แต่ครูควรจะได้ซักถามว่านักเรียนมีวิธีการคิด หรือมีข้อสังเกตอย่างไรจึงได้ข้อสรุปหรือคำตอบนั้นมา นักเรียนแต่ละคนจะมีวิธีคิดที่แตกต่างกัน ซึ่งแต่ละวิธีเหล่านั้นก็จะเป็นประโยชน์ต่อเพื่อนที่ยังสรุปไม่ได้ หรือสรุปโดยมีความคิดอีกแบบหนึ่ง การเปิดโอกาสหรือกระตุ้นให้นักเรียนได้ใช้ความคิด หรือวิเคราะห์ปัญหาที่ไม่ซับซ้อนนัก จะช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยต่อการแก้ปัญหาด้วยตนเอง แทนที่คอยจะหาแต่วิธีลัด สูตรสำเร็จ โดยไม่สนใจที่มาของคำตอบเหล่านั้น ซึ่งจะเกิดผลเสียต่อตัวนักเรียนเองเมื่อไปศึกษาต่อในระดับสูงขึ้นไป
ครูอาจการดัดแปลงโจทย์ปัญหาเพื่อการสอนแบบอื่น ๆได้อีก
- ท้ายนี้ผู้เขียนหวังว่าครูคงจะพอเห็นรูปแบบหนึ่งของการจัดกิจกรรมในชั่วโมงกิจกรรมทางคณิตศาสตร์ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นการหาโจทย์หรือข้อสอบมาให้นักเรียนทำแต่อย่างเดียว แต่ยังมีวิธีจัดกิจกรรมแบบอื่นได้อีกและหวังว่าวิธีที่เสนอแนะคงพอจะเป็นประโยชน์ต่อครูบ้าง
ยุดา กีรติรักษ์***
- ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ครูมักจะมีปัญหาว่า จะสอนอย่างไร จึงจะทำให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอด (Concept)จะใช้อุปกรณ์รูปภาพ หรือจะหาตัวอย่างอย่างไรดี ซึ่งคิดว่าครูหลาย ๆ ท่านคงจะเห็นด้วยว่า การสอนให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอดขี้นมาเองได้นั้น ทำได้ยากกว่าการสอนด้วยการบอกหลายเท่านัก ไหนจะปัญหาที่ว่า ระดับความสามารถในชั้นเรียนของนักเรียนแตกต่างกัน นักเรียนมีพื้นฐานไม่เท่ากัน ครูหลายท่านจึงจำเป็นต้องรวบรัดด้วยการบอก แทนที่จะเป็นการสอนแบบสืบเสาะ (discoverymethod) อย่างที่ตั้งใจจะทำ
- อย่างไรก็ดี ก็คงจะไม่ปฏิเสธว่า ก่อนที่นักเรียนจะทำโจทย์ปัญหาที่เป็นการวิเคราะห์ได้ นักเรียนจะต้องมีความเข้าใจในเนื้อหา จึงจะนำไปใช้และวิเคราะห์ได้ ในเมื่อครูหลายท่านไม่สามารถใช้วิธีการที่ต้องการในชั้นเรียนได้ ก็น่าจะทำได้ในชั่วโมงกิจกรรมซ่อมเสริม ซึ่งครูไม่จำเป็นต้องกังวลว่านักเรียนส่วนใหญ่ในชั้นเรียนจะตามได้ทันหรือไม่ เพราะเนื้อหาที่นำมาสอนไม่จำเป็นจะต้องเป็นสิ่งที่อยู่ในบทเรียนเสมอไป และก็ไม่จำเป็นต้องมีเนื้อเรื่อง หรือโจทย์ปัญหามากมาย
- ตัวอย่างที่จะยกมานี้ใช้ชุดภาพเพียงชุดเดียว แต่ครูสามารถใช้คำถามได้หลายแบบเพื่อให้นักเรียนได้ฝึกคิด โดยลำดับความยากง่ายของคำถามไว้ให้เหมาะสมกับความสามารถของนักเรียน ทั้งนี้ ครูควรพิจารณาได้เองตามความเหมาะสมของแต่ละชั้นเรียน (ดังจะเสนอตัวอย่างเรื่องที่น่าจะนำไปสอนในชั่วโมงดังกล่าวดังนี้)
- ครูยกบัตรภาพตามรูปทางขวามือ ทีละภาพ แล้วให้นักเรียนบอกจำนวนจุดบนภาพที่ครูยกให้ดู
- ครูเขียนจำนวนที่นักเรียนบอกบนกระดาน ดังนี้
1, 4, 9, 16, 25
- จากนั้นครูใช้คำถามถามนักเรียนว่า ถ้าครูยกแผ่นภาพในทำนองเดียวกันนี้อีก จำนวนต่อไปควรจะเป็นจำนวนอะไร ให้นักเรียนในชั้นช่วยกันตอบ ซึ่งนักเรียนควรจะบอกไปได้เรื่อย ๆเป็น
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...
- เมื่อจำนวนมีค่ามากขี้น จนนักเรียนไม่สามารถบอกออกมาได้ทันทีแล้ว นักเรียนควรจะบอกได้ว่า จำนวนที่จะเขียนต่อไปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนนับ หรือเขียนได้อีกแบบดังนี้
12 , 22 , 32 , 42 , 52 , 62 , 72 , 82 , 92 , 102 , 112....
- เรื่อย ๆไป ซึ่งนักเรียนบางคนอาจจะสรุปรูปแบบข้างต้นนี้ได้ จากสูตรของการหาพื้นที่โดยสังเกตจากรูปที่ครูยกให้ดูก็ได้ แต่สิ่งที่ครูต้องการให้นักเรียนตอบไม่ใช่เพียงคำตอบที่ถูกต้อง แต่ครูควรจะได้ซักถามว่านักเรียนมีวิธีการคิด หรือมีข้อสังเกตอย่างไรจึงได้ข้อสรุปหรือคำตอบนั้นมา นักเรียนแต่ละคนจะมีวิธีคิดที่แตกต่างกัน ซึ่งแต่ละวิธีเหล่านั้นก็จะเป็นประโยชน์ต่อเพื่อนที่ยังสรุปไม่ได้ หรือสรุปโดยมีความคิดอีกแบบหนึ่ง การเปิดโอกาสหรือกระตุ้นให้นักเรียนได้ใช้ความคิด หรือวิเคราะห์ปัญหาที่ไม่ซับซ้อนนัก จะช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยต่อการแก้ปัญหาด้วยตนเอง แทนที่คอยจะหาแต่วิธีลัด สูตรสำเร็จ โดยไม่สนใจที่มาของคำตอบเหล่านั้น ซึ่งจะเกิดผลเสียต่อตัวนักเรียนเองเมื่อไปศึกษาต่อในระดับสูงขึ้นไป
ครูอาจการดัดแปลงโจทย์ปัญหาเพื่อการสอนแบบอื่น ๆได้อีก
- ท้ายนี้ผู้เขียนหวังว่าครูคงจะพอเห็นรูปแบบหนึ่งของการจัดกิจกรรมในชั่วโมงกิจกรรมทางคณิตศาสตร์ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นการหาโจทย์หรือข้อสอบมาให้นักเรียนทำแต่อย่างเดียว แต่ยังมีวิธีจัดกิจกรรมแบบอื่นได้อีกและหวังว่าวิธีที่เสนอแนะคงพอจะเป็นประโยชน์ต่อครูบ้าง
ทักษะคณิตศาสตร์ สรางได้...
ทักษะคณิตศาสตร์" สร้างได้...
เมื่อพูดถึงคณิตศาสตร์ ผู้ใหญ่บางคนได้ฟัง ยังหนาวๆ ร้อนๆ แล้วสำหรับเด็กเล็กๆ การเรียนรู้เรื่องนี้จะเป็นสิ่งที่ยากเกินไปสำหรับเขาหรือไม่ ? คำตอบของคำถามข้างต้นนั้นคือ "ไม่ยากหรอกค่ะ" ถ้าเรารู้จักเนื้อหาและวิธีในการส่งเสริมทักษะทางคณิตศาสตร์ให้กับเด็ก ซึ่งเริ่มต้นได้ง่ายๆ จากสิ่งรอบตัวเด็กนี่เอง... ทักษะทางคณิตศาสตร์ คือ ? ก่อนที่จะค้นหาวิธีส่งเสริมต่างๆ ให้กับเด็ก เราควรจะรู้ว่าทักษะทางคณิตศาสตร์นั้นหมายถึงเรื่องอะไรบ้าง เพราะมีหลายคนที่เข้าใจว่าคณิตศาสตร์ คือ เรื่องของจำนวนและตัวเลขเท่านั้น แต่ความจริงแล้วคณิตศาสตร์มีเนื้อหาที่กว้างกว่านั้นมาก เพราะยังหมายรวมถึงรูปทรง การจับคู่ การชั่งตวงวัด การเปรียบเทียบ การจัดลำดับ การจัดประเภท เป็นต้น สิ่งเหล่านี้ก็คือคณิตศาสตร์เช่นเดียวกันเริ่มได้เมื่อไหร่ดี เมื่อเรารู้ถึงเนื้อหาในเรื่องต่างๆ ของคณิตศาสตร์แล้ว เราจะพบว่าการส่งเสริมทักษะคณิตศาสตร์สามารถเริ่มได้ตั้งแต่เด็กลืมตาดูโลก เมื่อลูกมองเห็นสีสันของโมบายที่คุณแม่แขวนเอาไว้ให้เหนือเปล เขาก็จะมองเห็นความแตกต่างของสีสัน บ้านที่จัดสิ่งแวดล้อมแบบนี้ให้ลูก ก็ถือว่าได้ส่งเสริมทักษะคณิตศาสตร์ให้กับเขาแล้ว เพราะหนูน้อยต้องได้สะสมประสบการณ์เหล่านี้ขึ้นมา เพื่อเป็นพี้นฐานการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่ผู้ใหญ่จัดหมวดหมู่ไว้ในอนาคต ถ้าเราไม่ตีกรอบว่าคณิตศาสตร์ คือ จำนวนและตัวเลขเท่านั้น เราก็สามารถส่งเสริมลูกได้ตั้งแต่แรกเกิด ผ่านการจัดสิ่งแวดล้อมที่เหมาะสม ความเข้าใจที่แตกต่าง การเรียนรู้ทักษะทางคณิตศาสตร์ของเด็กแต่ละวัยย่อมแตกต่างกันไป เราสามารถส่งเสริมเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ได้ทุกด้านแต่ต่างกันตรงวิธีการค่ะ สำหรับเด็กวัย 3- 4 ขวบ จำเป็นต้องเรียนคณิตศาสตร์ผ่านสิ่งที่เป็นรูปธรรมมากเพราะเขายังไม่เข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรม เช่น ให้เด็กสามขวบ ดูตัวเลข 2 กับ 3 แล้วเอาเครื่องหมายมากกว่าน้อยกว่าไปให้เขาใส่ เขาก็จะงงแน่นอน ว่าเจ้าสามเหลี่ยมปากกว้างนี้คืออะไร เด็กวัยนี้การเรียนเรื่องจำนวนตัวเลข ต้องผ่านสิ่งของที่เป็นรูปธรรมจับต้องได้ แต่ถ้าเป็นพี่ 5 หรือ 6 ขวบ จะเริ่มเข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรมหรือสัญลักษณ์ต่างๆ ได้แล้วเรียนรู้ได้จากสิ่งใกล้ตัว หลักของการส่งเสริมทักษะทางคณิตศาสตร์ให้เด็ก คือ เรียนรู้จากรูปธรรมไปนามธรรม เรียนรู้จากสิ่งที่ใกล้ตัวไปสู่สิ่งที่ไกลตัว คนไทยโบราณจะมีเพลงร้องเกี่ยวกับอวัยวะต่างๆ ซึ่งเป็นการเริ่มต้นเรียนเรื่องง่ายๆ ก็คือ การเรียนรู้จากอวัยวะของตัวเองนั่นเอง เช่น ตาสองตา จมูกหนึ่งจมูก หูสองหู เมื่อเด็กเกิดมานิ้วมือก็รองรับเลขฐานสิบให้เขาได้เรียนรู้ ฯลฯ สิ่งเหล่านี้เป็นการเรียนคณิตศาสตร์ในเรื่องจำนวนและตัวเลขโดยไม่รู้ตัว หรือบ้านไหนที่คุณแม่จัดระเบียบ มีการแยกประเภทเสื้อผ้า เช่น ลิ้นชักชั้นล่างใส่กางเกง ชั้นสองใส่เสื้อกล้าม ชั้นสามใส่ผ้าเช็ดตัว ฯลฯ ลูกบ้านนี้ก็จะได้เรียนคณิตศาสตร์เรื่องการจัดกลุ่ม การแยกประเภทไปด้วยเช่นกัน จึงเป็นเรื่องที่น่าเสียดายค่ะที่พ่อแม่บางคนพยายามค้นหาอุปกรณ์ หรือกลวิธียากๆ ในการสอนเด็ก แต่กลับละเลยสิ่งที่อยู่ใกล้ตัวเหล่านี้ไปเด็กวัยนี้เรียนรู้จากการเล่นและการกระทำ เราจึงควรส่งเสริมทักษะคณิตศาสตร์ให้อยู่ในชีวิตประจำวันของเขา เช่น เวลาคุณแม่จัดโต๊ะอาหารก็เรียกเจ้าตัวน้อยมาช่วยจัดด้วย ว่านี่คือจานคุณพ่อ จานคุณแม่ จานพี่ เขาก็จะได้เรียนรู้คณิตศาสตร์เรื่องการจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง เป็นต้น กิจวัตรประจำวันของเด็กมีคณิตศาสตร์ซ่อนอยู่มากมายค่ะ แม้แต่งานบ้านง่ายๆ ก็เป็นของวิเศษที่สามารถส่งเสริมคณิตศาสตร์ให้ลูกได้ คุณพ่อคุณแม่ต้องรู้จักดึงสิ่งเหล่านี้ออกมาให้ลูกเรียนรู้ จัดสภาพแวดล้อมหรือกิจกรรมแล้วเปิดโอกาสให้เขามาช่วยกันคิดขอเพียงแค่เข้าใจ เมื่อเด็กเข้าเรียนอนุบาลจะเริ่มมีแบบฝึกหัดที่เป็นระบบสัญลักษณ์เข้ามา สิ่งที่คุณพ่อคุณแม่ต้องสังเกตลูก คือ ลูกเรานั้นมีความพร้อมที่จะรับระบบสัญลักษณ์เหล่านั้นหรือยัง ถ้ายังไม่พร้อมก็ไม่ต้องบังคับว่าลูกต้องเข้าใจตอนนี้นะคะ เพราะบางครั้งลูกของเราอาจจะยังคงต้องการเรียนรู้จากสิ่งที่จับต้องได้ เราก็ควรช่วยเหลือและส่งเสริม ยกตัวอย่างนะคะ เมื่อมีการบ้านที่ต้องเติมเครื่องหมายมากกว่าหรือน้อยกว่า แล้วมีตัวเลข 5 กับ 6 เราอาจช่วยเตรียมสื่อให้ลูกนับประกอบการทำการบ้านประเภทเม็ดกระดุม ก้อนหิน ฯลฯ ให้เขาเห็นเป็นรูปธรรมว่ามันมากกว่าจริงๆ เพราะฉะนั้นสัญลักษณ์ที่เหมือนปากกว้างๆ นี้จะต้องหันหน้าไปกองกระดุมหรือกองก้อนหินที่มากกว่า เป็นต้น ความพร้อมของเด็กย่อมแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล คุณพ่อคุณแม่เองต้องเป็นคนคอยสังเกตว่าลูกเราอยู่ในระดับใด พร้อมมากแค่ไหน ไม่มีประโยชน์ที่จะเร่งลูกในยามที่เขายังไม่เข้าใจระบบสัญลักษณ์นะคะ การที่เราไปเร่งเด็กอาจทำให้เขามีความฝังใจว่าคณิตศาสตร์นั้นมันยากแสนยาก และไม่อยากจะเรียนรู้เรื่องคณิตศาสตร์อีก
ข้อมูลจาก : นิตยสารรักลูก ฉบับที่ 284 เดือนกันยายน พ.ศ.2549
เมื่อพูดถึงคณิตศาสตร์ ผู้ใหญ่บางคนได้ฟัง ยังหนาวๆ ร้อนๆ แล้วสำหรับเด็กเล็กๆ การเรียนรู้เรื่องนี้จะเป็นสิ่งที่ยากเกินไปสำหรับเขาหรือไม่ ? คำตอบของคำถามข้างต้นนั้นคือ "ไม่ยากหรอกค่ะ" ถ้าเรารู้จักเนื้อหาและวิธีในการส่งเสริมทักษะทางคณิตศาสตร์ให้กับเด็ก ซึ่งเริ่มต้นได้ง่ายๆ จากสิ่งรอบตัวเด็กนี่เอง... ทักษะทางคณิตศาสตร์ คือ ? ก่อนที่จะค้นหาวิธีส่งเสริมต่างๆ ให้กับเด็ก เราควรจะรู้ว่าทักษะทางคณิตศาสตร์นั้นหมายถึงเรื่องอะไรบ้าง เพราะมีหลายคนที่เข้าใจว่าคณิตศาสตร์ คือ เรื่องของจำนวนและตัวเลขเท่านั้น แต่ความจริงแล้วคณิตศาสตร์มีเนื้อหาที่กว้างกว่านั้นมาก เพราะยังหมายรวมถึงรูปทรง การจับคู่ การชั่งตวงวัด การเปรียบเทียบ การจัดลำดับ การจัดประเภท เป็นต้น สิ่งเหล่านี้ก็คือคณิตศาสตร์เช่นเดียวกันเริ่มได้เมื่อไหร่ดี เมื่อเรารู้ถึงเนื้อหาในเรื่องต่างๆ ของคณิตศาสตร์แล้ว เราจะพบว่าการส่งเสริมทักษะคณิตศาสตร์สามารถเริ่มได้ตั้งแต่เด็กลืมตาดูโลก เมื่อลูกมองเห็นสีสันของโมบายที่คุณแม่แขวนเอาไว้ให้เหนือเปล เขาก็จะมองเห็นความแตกต่างของสีสัน บ้านที่จัดสิ่งแวดล้อมแบบนี้ให้ลูก ก็ถือว่าได้ส่งเสริมทักษะคณิตศาสตร์ให้กับเขาแล้ว เพราะหนูน้อยต้องได้สะสมประสบการณ์เหล่านี้ขึ้นมา เพื่อเป็นพี้นฐานการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่ผู้ใหญ่จัดหมวดหมู่ไว้ในอนาคต ถ้าเราไม่ตีกรอบว่าคณิตศาสตร์ คือ จำนวนและตัวเลขเท่านั้น เราก็สามารถส่งเสริมลูกได้ตั้งแต่แรกเกิด ผ่านการจัดสิ่งแวดล้อมที่เหมาะสม ความเข้าใจที่แตกต่าง การเรียนรู้ทักษะทางคณิตศาสตร์ของเด็กแต่ละวัยย่อมแตกต่างกันไป เราสามารถส่งเสริมเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ได้ทุกด้านแต่ต่างกันตรงวิธีการค่ะ สำหรับเด็กวัย 3- 4 ขวบ จำเป็นต้องเรียนคณิตศาสตร์ผ่านสิ่งที่เป็นรูปธรรมมากเพราะเขายังไม่เข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรม เช่น ให้เด็กสามขวบ ดูตัวเลข 2 กับ 3 แล้วเอาเครื่องหมายมากกว่าน้อยกว่าไปให้เขาใส่ เขาก็จะงงแน่นอน ว่าเจ้าสามเหลี่ยมปากกว้างนี้คืออะไร เด็กวัยนี้การเรียนเรื่องจำนวนตัวเลข ต้องผ่านสิ่งของที่เป็นรูปธรรมจับต้องได้ แต่ถ้าเป็นพี่ 5 หรือ 6 ขวบ จะเริ่มเข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรมหรือสัญลักษณ์ต่างๆ ได้แล้วเรียนรู้ได้จากสิ่งใกล้ตัว หลักของการส่งเสริมทักษะทางคณิตศาสตร์ให้เด็ก คือ เรียนรู้จากรูปธรรมไปนามธรรม เรียนรู้จากสิ่งที่ใกล้ตัวไปสู่สิ่งที่ไกลตัว คนไทยโบราณจะมีเพลงร้องเกี่ยวกับอวัยวะต่างๆ ซึ่งเป็นการเริ่มต้นเรียนเรื่องง่ายๆ ก็คือ การเรียนรู้จากอวัยวะของตัวเองนั่นเอง เช่น ตาสองตา จมูกหนึ่งจมูก หูสองหู เมื่อเด็กเกิดมานิ้วมือก็รองรับเลขฐานสิบให้เขาได้เรียนรู้ ฯลฯ สิ่งเหล่านี้เป็นการเรียนคณิตศาสตร์ในเรื่องจำนวนและตัวเลขโดยไม่รู้ตัว หรือบ้านไหนที่คุณแม่จัดระเบียบ มีการแยกประเภทเสื้อผ้า เช่น ลิ้นชักชั้นล่างใส่กางเกง ชั้นสองใส่เสื้อกล้าม ชั้นสามใส่ผ้าเช็ดตัว ฯลฯ ลูกบ้านนี้ก็จะได้เรียนคณิตศาสตร์เรื่องการจัดกลุ่ม การแยกประเภทไปด้วยเช่นกัน จึงเป็นเรื่องที่น่าเสียดายค่ะที่พ่อแม่บางคนพยายามค้นหาอุปกรณ์ หรือกลวิธียากๆ ในการสอนเด็ก แต่กลับละเลยสิ่งที่อยู่ใกล้ตัวเหล่านี้ไปเด็กวัยนี้เรียนรู้จากการเล่นและการกระทำ เราจึงควรส่งเสริมทักษะคณิตศาสตร์ให้อยู่ในชีวิตประจำวันของเขา เช่น เวลาคุณแม่จัดโต๊ะอาหารก็เรียกเจ้าตัวน้อยมาช่วยจัดด้วย ว่านี่คือจานคุณพ่อ จานคุณแม่ จานพี่ เขาก็จะได้เรียนรู้คณิตศาสตร์เรื่องการจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง เป็นต้น กิจวัตรประจำวันของเด็กมีคณิตศาสตร์ซ่อนอยู่มากมายค่ะ แม้แต่งานบ้านง่ายๆ ก็เป็นของวิเศษที่สามารถส่งเสริมคณิตศาสตร์ให้ลูกได้ คุณพ่อคุณแม่ต้องรู้จักดึงสิ่งเหล่านี้ออกมาให้ลูกเรียนรู้ จัดสภาพแวดล้อมหรือกิจกรรมแล้วเปิดโอกาสให้เขามาช่วยกันคิดขอเพียงแค่เข้าใจ เมื่อเด็กเข้าเรียนอนุบาลจะเริ่มมีแบบฝึกหัดที่เป็นระบบสัญลักษณ์เข้ามา สิ่งที่คุณพ่อคุณแม่ต้องสังเกตลูก คือ ลูกเรานั้นมีความพร้อมที่จะรับระบบสัญลักษณ์เหล่านั้นหรือยัง ถ้ายังไม่พร้อมก็ไม่ต้องบังคับว่าลูกต้องเข้าใจตอนนี้นะคะ เพราะบางครั้งลูกของเราอาจจะยังคงต้องการเรียนรู้จากสิ่งที่จับต้องได้ เราก็ควรช่วยเหลือและส่งเสริม ยกตัวอย่างนะคะ เมื่อมีการบ้านที่ต้องเติมเครื่องหมายมากกว่าหรือน้อยกว่า แล้วมีตัวเลข 5 กับ 6 เราอาจช่วยเตรียมสื่อให้ลูกนับประกอบการทำการบ้านประเภทเม็ดกระดุม ก้อนหิน ฯลฯ ให้เขาเห็นเป็นรูปธรรมว่ามันมากกว่าจริงๆ เพราะฉะนั้นสัญลักษณ์ที่เหมือนปากกว้างๆ นี้จะต้องหันหน้าไปกองกระดุมหรือกองก้อนหินที่มากกว่า เป็นต้น ความพร้อมของเด็กย่อมแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล คุณพ่อคุณแม่เองต้องเป็นคนคอยสังเกตว่าลูกเราอยู่ในระดับใด พร้อมมากแค่ไหน ไม่มีประโยชน์ที่จะเร่งลูกในยามที่เขายังไม่เข้าใจระบบสัญลักษณ์นะคะ การที่เราไปเร่งเด็กอาจทำให้เขามีความฝังใจว่าคณิตศาสตร์นั้นมันยากแสนยาก และไม่อยากจะเรียนรู้เรื่องคณิตศาสตร์อีก
ข้อมูลจาก : นิตยสารรักลูก ฉบับที่ 284 เดือนกันยายน พ.ศ.2549
Basic math made easy
Has math always seemed difficult? Do the numbers all blur together… does the solution seem to escape you time after time? Don't despair, this can all be fixed. Mathematics' foundation is in reasoning, a skill that we are all born with in some fashion or another. The trick to unlocking the secret is to relax, and find the right approach to each problem.
Instead on pinpointing one particular field of mathematics, I will speak in generalities as to allow for better comprehension on all levels. Let us take problem number one, it could be any kind of problem, subtraction… trig… or even calculus. Don't immediately jump in and solve the problem, instead look at it for a second and think about what it is asking you, what does it want you to figure out. Verbalize the problem, this will allow you to catch any semantic mistakes that you might be making.
After you have said the problem out loud, separate the problem into at least two parts. For example if you had three times five, you would separate it into (three) and (five). Look at the parts in your head, and try to accomplish the desired goal. Make sure to use distinctions, don't say three and five equal eight. Say three plus five equals eight. Clarity is the most important thing in mathematics.
Word problems exist in all realms of mathematics. They are often people's nemesis. How can you defeat the word problem? Make it a numerical problem. First, as above, observe the problem. Now, once again, verbalize the problem.
Now go through the problem and pull out all numbers and units. So if the problem is, "Jenny has three apples, she gives one apple to Tommy, but takes two apples from Keri, how many apples does she now have?" So your units are: 3 Apples, 1 Apple, 2 Apples. Now, go back and replace the commas with the appropriate signs. If she gave one to Tommy, it is subtraction because she is losing one. If she takes two from Keri, it is addition, because she is gaining two apples. So: 3 Apples - 1 Apple + 2 Apples. No double check your work, read the problem, then your numerical statement, and see if they sound right. If so, solve the problem using the numbers and units. Answer: 4 Apples.
Another key to mathematics is repetition. Repeat the same type of problem many times until you understand the appropriate pattern and the key to solving it. Try to do at least twenty of each type of your feared problem each day. After class, or lessons, review your notes or lesson book, re-do the problems in your head, or on paper if necessary. Remember, you have the skills needed to accomplish these problems, focus, concentrate, and relax, it will be a cinch!
Instead on pinpointing one particular field of mathematics, I will speak in generalities as to allow for better comprehension on all levels. Let us take problem number one, it could be any kind of problem, subtraction… trig… or even calculus. Don't immediately jump in and solve the problem, instead look at it for a second and think about what it is asking you, what does it want you to figure out. Verbalize the problem, this will allow you to catch any semantic mistakes that you might be making.
After you have said the problem out loud, separate the problem into at least two parts. For example if you had three times five, you would separate it into (three) and (five). Look at the parts in your head, and try to accomplish the desired goal. Make sure to use distinctions, don't say three and five equal eight. Say three plus five equals eight. Clarity is the most important thing in mathematics.
Word problems exist in all realms of mathematics. They are often people's nemesis. How can you defeat the word problem? Make it a numerical problem. First, as above, observe the problem. Now, once again, verbalize the problem.
Now go through the problem and pull out all numbers and units. So if the problem is, "Jenny has three apples, she gives one apple to Tommy, but takes two apples from Keri, how many apples does she now have?" So your units are: 3 Apples, 1 Apple, 2 Apples. Now, go back and replace the commas with the appropriate signs. If she gave one to Tommy, it is subtraction because she is losing one. If she takes two from Keri, it is addition, because she is gaining two apples. So: 3 Apples - 1 Apple + 2 Apples. No double check your work, read the problem, then your numerical statement, and see if they sound right. If so, solve the problem using the numbers and units. Answer: 4 Apples.
Another key to mathematics is repetition. Repeat the same type of problem many times until you understand the appropriate pattern and the key to solving it. Try to do at least twenty of each type of your feared problem each day. After class, or lessons, review your notes or lesson book, re-do the problems in your head, or on paper if necessary. Remember, you have the skills needed to accomplish these problems, focus, concentrate, and relax, it will be a cinch!
Euclide geometry elements
The sum of the angles of a triangle is 180 degrees, right? Not in the world of non-Euclidean geometry. Non-Euclidean geometry is based on Euclidean geometry, the geometry most of us learn in high school. Before you can understand non-Euclidean geometry, you must first understand the five basic postulates of Euclidean geometry:
1) You can draw a straight line between any two points
2) You can extend any straight line segment infinitely
3) You can draw a circle using any straight line segment as the radius and one of the endpoints as the center
4) All right angles are congruent (equivalent)
5) Given a line and and a point not on the line, you can draw one and only one line parallel to the line through the point
Non-Euclidean geometry accepts the first four of Euclid's postulates but not the fifth. Instead, one of two alternate postulates is used to create a cohesive and consistent alternate geometry:
1) Given a line and a point not on the line, you cannot draw any lines parallel to the line through the point
2) Given a line and a point not on the line, you can draw two or more lines parallel to the line through the point
The first alternate postulate leads to an alternate geometry called spherical geometry (because it can be used to easily describe the surface of a sphere). Spherical geometry leads to a system where the sum of the angles of a triangle is more than 180 degrees. Spherical geometry is frequently used to describe the surface of the Earth.
The second alternate postulate leads to an alternate geometry called hyperbolic geometry. Hyperbolic geometry leads to a system where the sum of the angles of a triangle is less than 180 degrees. Hyperbolic geometry doesn't map easily to a physical system, but many cosmologists believe that the geometry of the universe can be best described by hyperbolic geometry.
Because most of us are only familiar with Euclidean geometry (also called flat geometry), these alternate geometries where the sum of the angles of a triangle do not add up to 180 degrees are complete and consistent mathematical descriptions of the world.
1) You can draw a straight line between any two points
2) You can extend any straight line segment infinitely
3) You can draw a circle using any straight line segment as the radius and one of the endpoints as the center
4) All right angles are congruent (equivalent)
5) Given a line and and a point not on the line, you can draw one and only one line parallel to the line through the point
Non-Euclidean geometry accepts the first four of Euclid's postulates but not the fifth. Instead, one of two alternate postulates is used to create a cohesive and consistent alternate geometry:
1) Given a line and a point not on the line, you cannot draw any lines parallel to the line through the point
2) Given a line and a point not on the line, you can draw two or more lines parallel to the line through the point
The first alternate postulate leads to an alternate geometry called spherical geometry (because it can be used to easily describe the surface of a sphere). Spherical geometry leads to a system where the sum of the angles of a triangle is more than 180 degrees. Spherical geometry is frequently used to describe the surface of the Earth.
The second alternate postulate leads to an alternate geometry called hyperbolic geometry. Hyperbolic geometry leads to a system where the sum of the angles of a triangle is less than 180 degrees. Hyperbolic geometry doesn't map easily to a physical system, but many cosmologists believe that the geometry of the universe can be best described by hyperbolic geometry.
Because most of us are only familiar with Euclidean geometry (also called flat geometry), these alternate geometries where the sum of the angles of a triangle do not add up to 180 degrees are complete and consistent mathematical descriptions of the world.
What is non-Euclidean geometry?
Euclid's geometrical thesis, "The Elements" (c. 300 B.C.E), proposed five basic postulates of geometry. Of these postulates, all were considered self-evident except for the fifth postulate. The fifth postulate asserted that two lines are parallel (i.e. non-intersecting) if a third line can intersect both lines perpendicularly. Consequently, in a Euclidean geometry every point has one and only one line parallel to any given line.
For centuries people questioned Euclid's fifth postulate. Even Euclid seemed suspicious of the fifth postulate because he avoided solving problems with it until his 29th example. Mathematicians stumbled with ways to prove the validity of the fifth postulate from the first four postulates, which we now call the postulates of absolute geometry. Those mathematicians who didn't fail were soon seen to have fallacious errors in their reasoning. These errors usually occurred because a mathematician had made self-fulfilling assumptions pertaining to parallel lines, rather than working with the other postulates. Essentially, they were forcing a result through the application of faulty logic.
Though many mathematicians questioned Euclidean geometry, Euclidean thought prevailed through school mathematical programs. "The Elements" became the most widely purchased non-religious work in the world, and it still remains the most widely received of mathematical texts. Furthermore, mathematical inquiries into the nature of non-Euclidean geometries were often devalued as frivolous. The philosopher Immanuel Kant (1724-1804) called Euclid's geometry, "the inevitable necessity of thought." Such philosophical opinions impeded mathematical progress in the field of geometry. Karl Friedrich Gauss (1777-1855), who began studying non-Euclidean geometries at the age of 15, never published any of his non-Euclidean works because he knew the mathematical precedent was against him.
Despite these odds, the mathematical generation after Gauss began to publish papers on non-Euclidean geometries. Their efforts were not well received, and many journals treated the subject as impractical, pseudo-mathematics. The turning point for non-Euclidean geometries came with the publication of Eugenio Beltrami's (1835-1900) "Essay on the interpretation of Non-Euclidean Geometry" in 1868. This essay combined the ideas of several non-Euclidean geometries into one work expressing the ideas of the field. Most importantly, this essay showed that curved space could seem like a Euclidean geometry, that curved lines could seem straight and that spherical topology could seem flat. The next century would soon realize the practical applications of non-Euclidean geometries, especially within physics and astronomy.
Physics, largely founded upon the constructs of Euclidean geometry, was turned upside-down with Einstein's non-Euclidean "Theory of Relativity" (1915). Einstein realized that Newtonian physics, based upon Euclidean geometry, failed to consider the curvature of space, and that this simple matter constituted for major errors in the equations of planetary motion and gravity. Einstein noted, "If all accelerated systems are equivalent, then Euclidean geometry cannot hold in all of them." With Einstein's declaration, a new era for physics and mathematics was soon born.
Today there are three non-Euclidean geometries of particular interest to students of mathematics. They are Riemannian, Poincare, and Taxi-Cab geometries. Other geometries exist, but many of them are complex versions of these geometrical forms.
A Riemannian geometry is also known as a spherical geometry. The plane of a Riemannian geometry occurs on the surface of a spherical object. The applications of this geometry, as well as its necessity, are best seen when thinking of a globe or the surface of some planet. On a globe, the distance from one point to another is always a curved distance, not a "flat" distance. While small sections of a Riemannian geometry can be reproduced as Euclidean maps without too much distortion, larger sections would bring about ecceedingly larger errors and thus more distortion. This distortion greatly affects the navigation of ships and our observation in physics.
In a Riemannian geometry two points are connected with the line of a Great Circle. The Great Circle has the same diameter as the sphere itself. Thus, one and only one line can connect two points. Due to this feature and the nature of the spherical plane, no parallel lines exist in a Riemannian geometry. Every infinite line intersects another infinite line.
A Poincare geometry contains hyperbolic lines on a Cartesian plane. Since the lines are hyperbolic, no point can exist below or on the y-axis. Lines have two forms designated as "Type I" and "Type II". A Type I line (a_L) is of the form "x=a", where "a" is a fixed real number. A Type I line is a straight vertical line stemming from the y-axis (but not touching it!) and extending out to infinity. A Type II line (c_L_r) is of the form "(x-c)² + y² = r²", where "c" and "r" are fixed real numbers with r>0. Type II lines are half circles extending downwards, towards the y-axis (but not touching it!). The Poincare geometry has uses for modeling trajectories of thrown objects and electro-magnetic forces.
Unlike a Euclidean geometry (where every point has a unique line parallel to another line), a Poincare geometry has an infinite number of lines parallel to another line and through a specific point. But, these parallel lines occur within a specific boundary defined by two unique parallel lines.
A Taxi-Cab geometry is more technically considered a sub-Euclidean geometry. Rather than changing the definition of parallel lines, it changed the definition of distance. Euclid had never defined distance as a tenet of Euclidean geometry, but he adopted one without ever speaking of it. Euclidean distance is measured with the Pythagorean theorem; Taxi-Cab distance is measured as the sum of x and y movement. In other words, Taxi-Cab geometry defines distance as one would navigate from point A to point B around city blocks. Thus, the distance from (0,0) to (1,1) in a Euclidean plane is 1.414, but the distance in a Taxi-Cab geometry would be two. Because of the Taxi-Cab distance definition, a circle is a tilted square in this geometry.
For centuries people questioned Euclid's fifth postulate. Even Euclid seemed suspicious of the fifth postulate because he avoided solving problems with it until his 29th example. Mathematicians stumbled with ways to prove the validity of the fifth postulate from the first four postulates, which we now call the postulates of absolute geometry. Those mathematicians who didn't fail were soon seen to have fallacious errors in their reasoning. These errors usually occurred because a mathematician had made self-fulfilling assumptions pertaining to parallel lines, rather than working with the other postulates. Essentially, they were forcing a result through the application of faulty logic.
Though many mathematicians questioned Euclidean geometry, Euclidean thought prevailed through school mathematical programs. "The Elements" became the most widely purchased non-religious work in the world, and it still remains the most widely received of mathematical texts. Furthermore, mathematical inquiries into the nature of non-Euclidean geometries were often devalued as frivolous. The philosopher Immanuel Kant (1724-1804) called Euclid's geometry, "the inevitable necessity of thought." Such philosophical opinions impeded mathematical progress in the field of geometry. Karl Friedrich Gauss (1777-1855), who began studying non-Euclidean geometries at the age of 15, never published any of his non-Euclidean works because he knew the mathematical precedent was against him.
Despite these odds, the mathematical generation after Gauss began to publish papers on non-Euclidean geometries. Their efforts were not well received, and many journals treated the subject as impractical, pseudo-mathematics. The turning point for non-Euclidean geometries came with the publication of Eugenio Beltrami's (1835-1900) "Essay on the interpretation of Non-Euclidean Geometry" in 1868. This essay combined the ideas of several non-Euclidean geometries into one work expressing the ideas of the field. Most importantly, this essay showed that curved space could seem like a Euclidean geometry, that curved lines could seem straight and that spherical topology could seem flat. The next century would soon realize the practical applications of non-Euclidean geometries, especially within physics and astronomy.
Physics, largely founded upon the constructs of Euclidean geometry, was turned upside-down with Einstein's non-Euclidean "Theory of Relativity" (1915). Einstein realized that Newtonian physics, based upon Euclidean geometry, failed to consider the curvature of space, and that this simple matter constituted for major errors in the equations of planetary motion and gravity. Einstein noted, "If all accelerated systems are equivalent, then Euclidean geometry cannot hold in all of them." With Einstein's declaration, a new era for physics and mathematics was soon born.
Today there are three non-Euclidean geometries of particular interest to students of mathematics. They are Riemannian, Poincare, and Taxi-Cab geometries. Other geometries exist, but many of them are complex versions of these geometrical forms.
A Riemannian geometry is also known as a spherical geometry. The plane of a Riemannian geometry occurs on the surface of a spherical object. The applications of this geometry, as well as its necessity, are best seen when thinking of a globe or the surface of some planet. On a globe, the distance from one point to another is always a curved distance, not a "flat" distance. While small sections of a Riemannian geometry can be reproduced as Euclidean maps without too much distortion, larger sections would bring about ecceedingly larger errors and thus more distortion. This distortion greatly affects the navigation of ships and our observation in physics.
In a Riemannian geometry two points are connected with the line of a Great Circle. The Great Circle has the same diameter as the sphere itself. Thus, one and only one line can connect two points. Due to this feature and the nature of the spherical plane, no parallel lines exist in a Riemannian geometry. Every infinite line intersects another infinite line.
A Poincare geometry contains hyperbolic lines on a Cartesian plane. Since the lines are hyperbolic, no point can exist below or on the y-axis. Lines have two forms designated as "Type I" and "Type II". A Type I line (a_L) is of the form "x=a", where "a" is a fixed real number. A Type I line is a straight vertical line stemming from the y-axis (but not touching it!) and extending out to infinity. A Type II line (c_L_r) is of the form "(x-c)² + y² = r²", where "c" and "r" are fixed real numbers with r>0. Type II lines are half circles extending downwards, towards the y-axis (but not touching it!). The Poincare geometry has uses for modeling trajectories of thrown objects and electro-magnetic forces.
Unlike a Euclidean geometry (where every point has a unique line parallel to another line), a Poincare geometry has an infinite number of lines parallel to another line and through a specific point. But, these parallel lines occur within a specific boundary defined by two unique parallel lines.
A Taxi-Cab geometry is more technically considered a sub-Euclidean geometry. Rather than changing the definition of parallel lines, it changed the definition of distance. Euclid had never defined distance as a tenet of Euclidean geometry, but he adopted one without ever speaking of it. Euclidean distance is measured with the Pythagorean theorem; Taxi-Cab distance is measured as the sum of x and y movement. In other words, Taxi-Cab geometry defines distance as one would navigate from point A to point B around city blocks. Thus, the distance from (0,0) to (1,1) in a Euclidean plane is 1.414, but the distance in a Taxi-Cab geometry would be two. Because of the Taxi-Cab distance definition, a circle is a tilted square in this geometry.
Statistical Information: Introduction to Terms
It seems that with increasing frequency, statistics are appearing in the news media and in the advertising of companies trying to sell you a product. With all the polls and data being reported, how can you be certain that you’re being given an accurate representation of the facts? Are you ever concerned that you’re really getting the whole picture when someone presents you with percentages? With a good understanding of a few basic statistical terms, you can be well on your way to understanding what all the data is truly telling you.
Mean: This is one of the most commonly used statistical terms that you’ll see utilized. To calculate the mean, you simply add together all of the values in your data set, and divide that sum by the total number of values in the set of data.
Example: Seven students took a standardized test. One student scored 100, three students scored 75, and three students scored 25. The mean score would be 400 divided by 7, or 57.
Median: Often confused with the mean, the median is actually something different altogether. The median is actually the value that is the middle value of the data set. To establish the median, line up the data in ascending order, and find the data point that’s right in the middle.
Example: Let’s look once again at the above set of standardized test scores. In ascending order, the scores are as follows…
25, 25, 25, 75, 75, 75, 100
Halfway across the list, the fourth and median value of this data is 75. But think about this…if you were a company that offered preparation courses for standardized test, and this data set represented the scores that your most recent class achieved, you could make your business look more attractive by advertising a median score of 75, as opposed to a mean score of 57. Asking the correct questions and knowing the real data could help you make a more informed purchase decision.
Mode: This term is used less frequently, but it’s a good one to know, just in case. The mode is simply the value that occurs most frequently in a set of data.
Example: Let’s assume that five additional test scores were obtained to supplement the scores from the previous example. They are 100, 95, 90, 80 and 25. Even though these scores would raise both the mean and the median, these would cause the mode to be 25.
Average: This is one to be careful with. When most people use the word average, they usually use it as a synonym for mean, which is sometimes called the arithmetic average. However, statistically, the words mean, median and mode are just a few of the terms that someone could intend when using the word average. If you’re uncertain of precisely what someone means when they call a number the average, don’t be afraid to ask how they arrived at that number.
Range: This is simply the difference between the largest value in a set of data and the smallest value in that same data set.
Example: Using the set of fifteen test scores described above, the range would be 100-25, or 75.
Margin of Error: This term appears frequently on news programs, particularly when the results of a poll are described. Understanding margin of error is key to understanding what poll data is really saying. Margin of error is a way of describing approximately how many percentage points a poll may be off by.
Example: Let’s say that a very controversial proposition is coming up for a vote in your area. On your local news station, the news teams reports that a recent poll revealed that 54% of the voting population was in favor of the proposition, and 46% of the population was opposed to the proposition. As a footnote, the margin of error is listed as +/-5%. What this means is that the number of people polled was large enough to assert that it is 95% certain that the true opinion of the population would be within 5% of the data reported. Therefore, it’s possible that anywhere between 49% and 59% of the voters are in favor of passing the proposition. So, even though it seems at first like voters are supportive of the proposition, in reality, the statistics indicate that those who oppose the proposition may be of the majority.
Random Sample: This phrase is a bit more difficult to pin down. However, it’s important to be certain that the participants in a poll are randomly selected, or the results may be skewed.
Example: Local hamburger stand A claims that 95% of people polled think that stand A’s fries are better tasting than the fries sold at hamburger stand B. However, if this data were compiled by asking customers at stand A to fill out a survey, it would not be appropriate to call this sampling random. After all, there’s a strong chance that customers at stand A may prefer the fries from the stand that they’ve chosen to patronize.
When in doubt, it’s always best to question the data that you’re presented with. A school boasts of a 92% graduation rate, but how did the school perform in previous years? If the prior few years had graduation rates of 95% and above, then the 92% may represent a negative trend. However, compared to other schools in the area, 92% may still be a number to be proud of.
Don’t let statistics intimidate you! It’s not difficult to understand what the data means if you understand the language of statistics.
Mean: This is one of the most commonly used statistical terms that you’ll see utilized. To calculate the mean, you simply add together all of the values in your data set, and divide that sum by the total number of values in the set of data.
Example: Seven students took a standardized test. One student scored 100, three students scored 75, and three students scored 25. The mean score would be 400 divided by 7, or 57.
Median: Often confused with the mean, the median is actually something different altogether. The median is actually the value that is the middle value of the data set. To establish the median, line up the data in ascending order, and find the data point that’s right in the middle.
Example: Let’s look once again at the above set of standardized test scores. In ascending order, the scores are as follows…
25, 25, 25, 75, 75, 75, 100
Halfway across the list, the fourth and median value of this data is 75. But think about this…if you were a company that offered preparation courses for standardized test, and this data set represented the scores that your most recent class achieved, you could make your business look more attractive by advertising a median score of 75, as opposed to a mean score of 57. Asking the correct questions and knowing the real data could help you make a more informed purchase decision.
Mode: This term is used less frequently, but it’s a good one to know, just in case. The mode is simply the value that occurs most frequently in a set of data.
Example: Let’s assume that five additional test scores were obtained to supplement the scores from the previous example. They are 100, 95, 90, 80 and 25. Even though these scores would raise both the mean and the median, these would cause the mode to be 25.
Average: This is one to be careful with. When most people use the word average, they usually use it as a synonym for mean, which is sometimes called the arithmetic average. However, statistically, the words mean, median and mode are just a few of the terms that someone could intend when using the word average. If you’re uncertain of precisely what someone means when they call a number the average, don’t be afraid to ask how they arrived at that number.
Range: This is simply the difference between the largest value in a set of data and the smallest value in that same data set.
Example: Using the set of fifteen test scores described above, the range would be 100-25, or 75.
Margin of Error: This term appears frequently on news programs, particularly when the results of a poll are described. Understanding margin of error is key to understanding what poll data is really saying. Margin of error is a way of describing approximately how many percentage points a poll may be off by.
Example: Let’s say that a very controversial proposition is coming up for a vote in your area. On your local news station, the news teams reports that a recent poll revealed that 54% of the voting population was in favor of the proposition, and 46% of the population was opposed to the proposition. As a footnote, the margin of error is listed as +/-5%. What this means is that the number of people polled was large enough to assert that it is 95% certain that the true opinion of the population would be within 5% of the data reported. Therefore, it’s possible that anywhere between 49% and 59% of the voters are in favor of passing the proposition. So, even though it seems at first like voters are supportive of the proposition, in reality, the statistics indicate that those who oppose the proposition may be of the majority.
Random Sample: This phrase is a bit more difficult to pin down. However, it’s important to be certain that the participants in a poll are randomly selected, or the results may be skewed.
Example: Local hamburger stand A claims that 95% of people polled think that stand A’s fries are better tasting than the fries sold at hamburger stand B. However, if this data were compiled by asking customers at stand A to fill out a survey, it would not be appropriate to call this sampling random. After all, there’s a strong chance that customers at stand A may prefer the fries from the stand that they’ve chosen to patronize.
When in doubt, it’s always best to question the data that you’re presented with. A school boasts of a 92% graduation rate, but how did the school perform in previous years? If the prior few years had graduation rates of 95% and above, then the 92% may represent a negative trend. However, compared to other schools in the area, 92% may still be a number to be proud of.
Don’t let statistics intimidate you! It’s not difficult to understand what the data means if you understand the language of statistics.
สมัครสมาชิก:
บทความ (Atom)
บทความ
